Theorem blssex 12602

Description: Two ways to express the existence of a ball subset. (Contributed by NM, 5-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssex	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝐴   𝐷,𝑟,𝑥   𝑃,𝑟,𝑥   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem blssex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blss 12600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
2		sstr 3105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)
3	2	expcom 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
4	3	reximdv 2533	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
5	1, 4	syl5com 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
6	5	3expa 1181	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) ∧ 𝑃 ∈ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
7	6	expimpd 360	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
8	7	adantlr 468	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
9	8	rexlimdva 2549	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
10		simpll 518	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11		simplr 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
12		rpxr 9452	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
14		blelrn 12592	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷))
15	10, 11, 13, 14	syl3anc 1216	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷))
16		simprl 520	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
17		blcntr 12588	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
18	10, 11, 16, 17	syl3anc 1216	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
19		simprr 521	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)
20		eleq2 2203	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
21		sseq1 3120	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
22	20, 21	anbi12d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)))
23	22	rspcev 2789	. . . 4 ⊢ (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
24	15, 18, 19, 23	syl12anc 1214	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))
25	24	rexlimdvaa 2550	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
26	9, 25	impbid 128	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   ⊆ wss 3071  ran crn 4540  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝ^*cxr 7802  ℝ⁺crp 9444  ∞Metcxmet 12152  ballcbl 12154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-2 8782  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-q 9415  df-rp 9445  df-xneg 9562  df-xadd 9563  df-psmet 12159  df-xmet 12160  df-bl 12162

This theorem is referenced by:  blbas  12605  elmopn2  12621  mopni2  12655  metss  12666  tgioo  12718