ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnven GIF version

Theorem cnven 6355
Description: A relational set is equinumerous to its converse. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnven ((Rel 𝐴𝐴𝑉) → 𝐴𝐴)

Proof of Theorem cnven
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . 2 ((Rel 𝐴𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
2 cnvexg 4885 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
32adantl 271 . 2 ((Rel 𝐴𝐴𝑉) → 𝐴 ∈ V)
4 cnvf1o 5877 . . 3 (Rel 𝐴 → (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1-onto𝐴)
54adantr 270 . 2 ((Rel 𝐴𝐴𝑉) → (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1-onto𝐴)
6 f1oen2g 6302 . 2 ((𝐴𝑉𝐴 ∈ V ∧ (𝑥𝐴 {𝑥}):𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐴)
71, 3, 5, 6syl3anc 1170 1 ((Rel 𝐴𝐴𝑉) → 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1434  Vcvv 2602  {csn 3406   cuni 3609   class class class wbr 3793  cmpt 3847  ccnv 4370  Rel wrel 4376  1-1-ontowf1o 4931  cen 6285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-en 6288
This theorem is referenced by:  cnvct  6356  relcnvfi  6449
  Copyright terms: Public domain W3C validator