ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decaddc2 GIF version

Theorem decaddc2 8690
Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decma.n 𝑁 = 𝐶𝐷
decaddc.e ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
decaddc2.t (𝐵 + 𝐷) = 10
Assertion
Ref Expression
decaddc2 (𝑀 + 𝑁) = 𝐸0

Proof of Theorem decaddc2
StepHypRef Expression
1 decma.a . 2 𝐴 ∈ ℕ0
2 decma.b . 2 𝐵 ∈ ℕ0
3 decma.c . 2 𝐶 ∈ ℕ0
4 decma.d . 2 𝐷 ∈ ℕ0
5 decma.m . 2 𝑀 = 𝐴𝐵
6 decma.n . 2 𝑁 = 𝐶𝐷
7 decaddc.e . 2 ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
8 0nn0 8447 . 2 0 ∈ ℕ0
9 decaddc2.t . 2 (𝐵 + 𝐷) = 10
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9decaddc 8689 1 (𝑀 + 𝑁) = 𝐸0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5565  0cc0 7120  1c1 7121   + caddc 7123  0cn0 8432  cdc 8635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-mulcom 7216  ax-addass 7217  ax-mulass 7218  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-1rid 7222  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-cnre 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-sub 7425  df-inn 8184  df-2 8242  df-3 8243  df-4 8244  df-5 8245  df-6 8246  df-7 8247  df-8 8248  df-9 8249  df-n0 8433  df-dec 8636
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator