ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decbin2 GIF version

Theorem decbin2 8566
Description: Decompose base 4 into base 2. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
decbin.1 𝐴 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
decbin2 ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))

Proof of Theorem decbin2
StepHypRef Expression
1 2t1e2 8135 . . 3 (2 · 1) = 2
21oveq2i 5550 . 2 ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
3 2cn 8060 . . 3 2 ∈ ℂ
4 decbin.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
54nn0cni 8250 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
63, 5mulcli 7089 . . 3 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
7 ax-1cn 7034 . . 3 1 ∈ ℂ
83, 6, 7adddii 7094 . 2 (2 · ((2 · 𝐴) + 1)) = ((2 · (2 · 𝐴)) + (2 · 1))
94decbin0 8565 . . 3 (4 · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴))
109oveq1i 5549 . 2 ((4 · 𝐴) + 2) = ((2 · (2 · 𝐴)) + 2)
112, 8, 103eqtr4ri 2087 1 ((4 · 𝐴) + 2) = (2 · ((2 · 𝐴) + 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1259  wcel 1409  (class class class)co 5539  1c1 6947   + caddc 6949   · cmul 6951  2c2 8039  4c4 8041  0cn0 8238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-1rid 7048  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-br 3792  df-iota 4894  df-fv 4937  df-ov 5542  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-n0 8239
This theorem is referenced by:  decbin3  8567
  Copyright terms: Public domain W3C validator