Theorem dedekindeu 12770

Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7274 except that the the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindeu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dedekindeu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.lss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
2		dedekindeu.uss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
3		dedekindeu.lm	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
4		dedekindeu.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
5		dedekindeu.lr	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
6		dedekindeu.ur	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
7		dedekindeu.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
8		dedekindeu.loc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dedekindeulemlu 12768	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
10	1	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐿 ⊆ ℝ)
11	2	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑈 ⊆ ℝ)
12	3	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
13	4	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
14	5	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
15	6	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
16	7	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
17	8	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
18		simprl 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
20	19	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
21		simprl 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
22	21	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
23		simprr 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
24	23	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
25	24	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
26		simprr 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
27	26	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
28		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
29	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 25, 27, 28	dedekindeulemeu 12769	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ⊥)
30	1	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐿 ⊆ ℝ)
31	2	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑈 ⊆ ℝ)
32	3	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
33	4	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
34	5	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
35	6	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
36	7	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
37	8	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
38	24	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
39	26	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
40	19	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
41	21	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
42		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
43	30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42	dedekindeulemeu 12769	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ⊥)
44		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 # 𝑦)
45		reaplt 8350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
46	19, 24, 45	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
47	44, 46	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
48	29, 43, 47	mpjaodan 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ⊥)
49	48	inegd 1350	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → ¬ 𝑥 # 𝑦)
50		simplrl 524	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	50	recnd 7794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℂ)
52		simplrr 525	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑦 ∈ ℝ)
53	52	recnd 7794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑦 ∈ ℂ)
54		apti 8384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
55	51, 53, 54	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
56	49, 55	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 = 𝑦)
57	56	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
58	57	ralrimivva 2514	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
59		breq2 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑞 < 𝑥 ↔ 𝑞 < 𝑦))
60	59	ralbidv 2437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦))
61		breq1 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑦 < 𝑟))
62	61	ralbidv 2437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
63	60, 62	anbi12d 464	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))
64	63	rmo4 2877	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
65	58, 64	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
66		reu5 2643	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
67	9, 65, 66	sylanbrc 413	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331  ⊥wfal 1336   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  ∃!wreu 2418  ∃*wrmo 2419   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363   class class class wbr 3929  ℂcc 7618  ℝcr 7619   < clt 7800   # cap 8343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-suploc 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344

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