ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reu5 GIF version

Theorem reu5 2567
Description: Restricted uniqueness in terms of "at most one." (Contributed by NM, 23-May-1999.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
reu5 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝐴 𝜑))

Proof of Theorem reu5
StepHypRef Expression
1 eu5 1989 . 2 (∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
2 df-reu 2356 . 2 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑))
3 df-rex 2355 . . 3 (∃𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
4 df-rmo 2357 . . 3 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑))
53, 4anbi12i 448 . 2 ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
61, 2, 53bitr4i 210 1 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝐴 𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  wex 1422  wcel 1434  ∃!weu 1942  ∃*wmo 1943  wrex 2350  ∃!wreu 2351  ∃*wrmo 2352
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357
This theorem is referenced by:  reurex  2568  reurmo  2569  reu4  2787  reueq  2790  reusv1  4210  fncnv  4990  moriotass  5521  supeuti  6456  infeuti  6491  lteupri  6858  elrealeu  7049  rereceu  7106  exbtwnz  9326  rersqreu  10041  divalglemeunn  10454  divalglemeuneg  10456  bezoutlemeu  10529  pw2dvdseu  10679
  Copyright terms: Public domain W3C validator