ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recnd GIF version

Theorem recnd 7113
Description: Deduction from real number to complex number. (Contributed by NM, 26-Oct-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
recnd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
recnd (𝜑𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem recnd
StepHypRef Expression
1 recnd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 recn 7072 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
31, 2syl 14 1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409  cc 6945  cr 6946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-11 1413  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-resscn 7034
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-in 2952  df-ss 2959
This theorem is referenced by:  readdcan  7214  ltadd2  7488  ltadd1  7498  leadd2  7500  ltsubadd  7501  ltsubadd2  7502  lesubadd  7503  lesubadd2  7504  ltaddsub  7505  leaddsub  7507  lesub1  7525  lesub2  7526  ltsub1  7527  ltsub2  7528  ltnegcon1  7532  ltnegcon2  7533  add20  7543  subge0  7544  suble0  7545  lesub0  7548  possumd  7634  sublt0d  7635  rimul  7650  rereim  7651  apreap  7652  ltmul1a  7656  ltmul1  7657  reapmul1  7660  remulext2  7665  cru  7667  apreim  7668  mulreim  7669  apadd1  7673  apneg  7676  mulext1  7677  ltapd  7701  rerecclap  7781  redivclap  7782  recgt0  7891  prodgt0gt0  7892  prodgt0  7893  prodge0  7895  lemul1a  7899  ltdiv1  7909  ltmuldiv  7915  ledivmul  7918  lt2mul2div  7920  ltrec  7924  lt2msq  7927  ltdiv2  7928  ltrec1  7929  lerec2  7930  ledivdiv  7931  lediv2  7932  ltdiv23  7933  lediv23  7934  lediv12a  7935  recp1lt1  7940  recreclt  7941  ledivp1  7944  mulle0r  7985  avglt1  8220  avglt2  8221  div4p1lem1div2  8235  nn0cnd  8294  zcn  8307  peano2z  8338  zaddcllemneg  8341  ztri3or  8345  zeo  8402  zcnd  8420  eluzelcn  8580  cnref1o  8680  rpcn  8689  rpcnd  8722  ltaddrp2d  8755  icoshftf1o  8960  lincmb01cmp  8972  iccf1o  8973  qbtwnrelemcalc  9212  flhalf  9252  intfracq  9270  flqdiv  9271  modqid  9299  modqid0  9300  mulqaddmodid  9314  serile  9418  expcl2lemap  9432  expnegzap  9454  expaddzaplem  9463  expaddzap  9464  expmulzap  9466  ltexp2a  9472  leexp2a  9473  leexp2r  9474  exple1  9476  expubnd  9477  sq11  9492  bernneq2  9538  expnbnd  9540  nn0opthlem2d  9589  faclbnd  9609  bcp1nk  9630  remim  9688  reim0b  9690  rereb  9691  mulreap  9692  cjreb  9694  recj  9695  reneg  9696  readd  9697  resub  9698  remullem  9699  remul2  9701  redivap  9702  imcj  9703  imneg  9704  imadd  9705  imsub  9706  immul2  9708  imdivap  9709  cjcj  9711  cjadd  9712  ipcnval  9714  cjmulval  9716  cjneg  9718  imval2  9722  cjreim2  9732  cjap  9734  cnrecnv  9738  caucvgrelemrec  9806  cvg1nlemres  9812  recvguniqlem  9821  recvguniq  9822  resqrexlemover  9837  resqrexlemcalc1  9841  resqrexlemcalc2  9842  resqrexlemcalc3  9843  resqrexlemnmsq  9844  resqrexlemnm  9845  resqrexlemgt0  9847  resqrexlemoverl  9848  resqrexlemglsq  9849  remsqsqrt  9859  sqrtmul  9862  sqrtdiv  9869  sqrtmsq  9872  abs00ap  9889  absext  9890  abs00  9891  absdivap  9897  absid  9898  absexp  9906  absexpzap  9907  absimle  9911  abslt  9915  absle  9916  abssubap0  9917  abssubne0  9918  releabs  9923  recvalap  9924  abstri  9931  abs2difabs  9935  amgm2  9945  icodiamlt  10007  climabs0  10059  climrecl  10075  climge0  10076  climle  10085  climsqz  10086  climsqz2  10087  climlec2  10092  climserile  10096  climrecvg1n  10098  climcvg1nlem  10099  dvdslelemd  10155  odd2np1  10184  divalglemnqt  10232  nn0seqcvgd  10263  qdencn  10511
  Copyright terms: Public domain W3C validator