ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz2 GIF version

Theorem elfz2 9101
Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ and 𝑁 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 393 . 2 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))))
2 df-3an 922 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
32anbi1i 446 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
4 df-fz 9095 . . . 4 ... = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℤ ↦ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
54elmpt2cl 5723 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6 simpl 107 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7 elfz1 9099 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
8 3anass 924 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
9 ibar 295 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
108, 9syl5bb 190 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
117, 10bitrd 186 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
125, 6, 11pm5.21nii 653 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))))
131, 3, 123bitr4ri 211 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  w3a 920  wcel 1434  {crab 2353   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537  cle 7205  cz 8421  ...cfz 9094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fv 4934  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-neg 7338  df-z 8422  df-fz 9095
This theorem is referenced by:  elfz4  9103  elfzuzb  9104  uzsubsubfz  9131  fzmmmeqm  9141  fzpreddisj  9153  elfz1b  9172  fzp1nel  9186  elfz0ubfz0  9202  elfz0fzfz0  9203  fz0fzelfz0  9204  fz0fzdiffz0  9207  elfzmlbp  9209  fzind2  9314
  Copyright terms: Public domain W3C validator