Theorem seq3f1olemqsumkj 10271

Description: Lemma for seq3f1o 10277. 𝑄 gives the same sum as 𝐽 in the range (𝐾...(^◡𝐽‘𝐾)). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1o.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqf1o.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
iseqf1o.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
iseqf1o.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqf1o.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1o.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemstep.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.const	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
iseqf1olemnk	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (◡𝐽‘𝐾))
iseqf1olemqres.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemqsumk.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
seq3f1olemqsumkj	⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) = (seq𝐾( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝑀,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝐽   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐽,𝑦,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑄,𝑓,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑢,𝑓)   + (𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑓)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑢)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem seq3f1olemqsumkj

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemstep.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzelz 9806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4		iseqf1olemstep.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		f1ocnv 5380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
7		f1of 5367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
9	8, 1	ffvelrnd 5556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
10		elfzelz 9806	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
12		peano2zm 9092	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ ℤ)
14		iseqf1o.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15		iseqf1olemstep.const	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
16		iseqf1olemnk	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (◡𝐽‘𝐾))
17	14, 1, 4, 15, 16	iseqf1olemklt 10258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾))
18		zltlem1 9111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1)))
19	3, 11, 18	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1)))
20	17, 19	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1))
21		eluz2 9332	. . . . . 6 ⊢ (((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1)))
22	3, 13, 20, 21	syl3anbrc 1165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
23		1zzd 9081	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
24	1	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
25	4	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
26		elfzel1 9805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
27	1, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
29		elfzel2 9804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	1, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
31	30	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
32		elfzelz 9806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1)) → 𝑣 ∈ ℤ)
33	32	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ∈ ℤ)
34	33	peano2zd 9176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ∈ ℤ)
35	28, 31, 34	3jca 1161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑣 + 1) ∈ ℤ))
36	28	zred 9173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
37	33	zred 9173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ∈ ℝ)
38	34	zred 9173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ∈ ℝ)
39	3	zred 9173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
40	39	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
41		elfzle1 9807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
42	1, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐾)
43	42	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑀 ≤ 𝐾)
44		elfzle1 9807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1)) → 𝐾 ≤ 𝑣)
45	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐾 ≤ 𝑣)
46	36, 40, 37, 43, 45	letrd 7886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑀 ≤ 𝑣)
47	37	lep1d 8689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ≤ (𝑣 + 1))
48	36, 37, 38, 46, 47	letrd 7886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑀 ≤ (𝑣 + 1))
49	11	zred 9173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℝ)
50	49	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℝ)
51	31	zred 9173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
52		elfzle2 9808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1)) → 𝑣 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1))
53	52	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1))
54		1red 7781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 1 ∈ ℝ)
55		leaddsub 8200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℝ) → ((𝑣 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾) ↔ 𝑣 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1)))
56	37, 54, 50, 55	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → ((𝑣 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾) ↔ 𝑣 ≤ ((◡𝐽‘𝐾) − 1)))
57	53, 56	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))
58		elfzle2 9808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ≤ 𝑁)
59	9, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ≤ 𝑁)
60	59	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (◡𝐽‘𝐾) ≤ 𝑁)
61	38, 50, 51, 57, 60	letrd 7886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ≤ 𝑁)
62	48, 61	jca 304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑀 ≤ (𝑣 + 1) ∧ (𝑣 + 1) ≤ 𝑁))
63		elfz2 9797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑣 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑣 + 1) ∧ (𝑣 + 1) ≤ 𝑁)))
64	35, 62, 63	sylanbrc 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
65		iseqf1olemqres.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
66	24, 25, 64, 65	iseqf1olemqval 10260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑄‘(𝑣 + 1)) = if((𝑣 + 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))), (𝐽‘(𝑣 + 1))))
67	24, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
68	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
69	67, 68, 34	3jca 1161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑣 + 1) ∈ ℤ))
70	40, 37, 38, 45, 47	letrd 7886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐾 ≤ (𝑣 + 1))
71	70, 57	jca 304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝐾 ≤ (𝑣 + 1) ∧ (𝑣 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
72		elfz2 9797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 + 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑣 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ (𝑣 + 1) ∧ (𝑣 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))))
73	69, 71, 72	sylanbrc 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
74	73	iftrued 3481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → if((𝑣 + 1) ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))), (𝐽‘(𝑣 + 1))) = if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))))
75	66, 74	eqtrd 2172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑄‘(𝑣 + 1)) = if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))))
76		zleltp1 9109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑣 ↔ 𝐾 < (𝑣 + 1)))
77	67, 33, 76	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝐾 ≤ 𝑣 ↔ 𝐾 < (𝑣 + 1)))
78	45, 77	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝐾 < (𝑣 + 1))
79	40, 78	gtned 7876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑣 + 1) ≠ 𝐾)
80	79	neneqd 2329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → ¬ (𝑣 + 1) = 𝐾)
81	80	iffalsed 3484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → if((𝑣 + 1) = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1))) = (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1)))
82	33	zcnd 9174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ∈ ℂ)
83		pncan1 8139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → ((𝑣 + 1) − 1) = 𝑣)
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → ((𝑣 + 1) − 1) = 𝑣)
85	84	fveq2d 5425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝐽‘((𝑣 + 1) − 1)) = (𝐽‘𝑣))
86	75, 81, 85	3eqtrd 2176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑄‘(𝑣 + 1)) = (𝐽‘𝑣))
87	86	fveq2d 5425	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝐺‘(𝑄‘(𝑣 + 1))) = (𝐺‘(𝐽‘𝑣)))
88	1, 4, 65	iseqf1olemqf1o 10266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
89	88	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑄:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
90		iseqf1o.7	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
91	90	adantlr 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
92		iseqf1olemqsumk.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
93	24, 89, 64, 91, 92	iseqf1olemfvp 10270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘(𝑣 + 1)) = (𝐺‘(𝑄‘(𝑣 + 1))))
94	28, 31, 33	3jca 1161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ))
95	11, 23	zsubcld 9178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ ℤ)
96	95	zred 9173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ ℝ)
97	96	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ∈ ℝ)
98	50	lem1d 8691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))
99	97, 50, 51, 98, 60	letrd 7886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → ((◡𝐽‘𝐾) − 1) ≤ 𝑁)
100	37, 97, 51, 53, 99	letrd 7886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ≤ 𝑁)
101	46, 100	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (𝑀 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝑁))
102		elfz2 9797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝑁)))
103	94, 101, 102	sylanbrc 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → 𝑣 ∈ (𝑀...𝑁))
104	103, 25, 103, 91, 92	iseqf1olemfvp 10270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑣) = (𝐺‘(𝐽‘𝑣)))
105	87, 93, 104	3eqtr4rd 2183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾...((◡𝐽‘𝐾) − 1))) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑣) = (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘(𝑣 + 1)))
106		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
107		elfzuz 9802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
108	1, 107	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
109	108	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
110		uztrn 9342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
111	106, 109, 110	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
112	1, 4, 65, 90, 92	iseqf1olemjpcl 10268	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)
113	111, 112	syldan 280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)
114		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
115	3	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
116	115	peano2zd 9176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
117	115	zred 9173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
118	117	lep1d 8689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
119		eluz2 9332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (𝐾 + 1)))
120	115, 116, 118, 119	syl3anbrc 1165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
121		uztrn 9342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
122	114, 120, 121	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
123	1, 4, 65, 90, 92	iseqf1olemqpcl 10269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)
124	111, 123	syldan 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)
125	122, 124	syldan 280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)
126		iseqf1o.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
127	22, 23, 105, 113, 125, 126	seq3shft2 10246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘((◡𝐽‘𝐾) − 1)) = (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(((◡𝐽‘𝐾) − 1) + 1)))
128	11	zcnd 9174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℂ)
129		npcan1 8140	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ ℂ → (((◡𝐽‘𝐾) − 1) + 1) = (◡𝐽‘𝐾))
130	128, 129	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((◡𝐽‘𝐾) − 1) + 1) = (◡𝐽‘𝐾))
131	130	fveq2d 5425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(((◡𝐽‘𝐾) − 1) + 1)) = (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)))
132	127, 131	eqtrd 2172	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘((◡𝐽‘𝐾) − 1)) = (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)))
133		f1ocnvfv2 5679	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
134	4, 1, 133	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
135	134	fveq2d 5425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝐽‘(◡𝐽‘𝐾))) = (𝐺‘𝐾))
136	1, 4, 9, 90, 92	iseqf1olemfvp 10270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘(◡𝐽‘𝐾)) = (𝐺‘(𝐽‘(◡𝐽‘𝐾))))
137	1, 88, 1, 90, 92	iseqf1olemfvp 10270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾) = (𝐺‘(𝑄‘𝐾)))
138	1, 4, 1, 65	iseqf1olemqval 10260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐾) = if(𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽‘𝐾)))
139	14, 1, 4, 15	iseqf1olemkle 10257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾))
140		eluz2 9332	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
141	3, 11, 139, 140	syl3anbrc 1165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
142		eluzfz1 9811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)))
144	143	iftrued 3481	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))), (𝐽‘𝐾)) = if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))))
145		eqidd 2140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = 𝐾)
146	145	iftrued 3481	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝐾 − 1))) = 𝐾)
147	138, 144, 146	3eqtrd 2176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐾) = 𝐾)
148	147	fveq2d 5425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑄‘𝐾)) = (𝐺‘𝐾))
149	137, 148	eqtrd 2172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
150	135, 136, 149	3eqtr4d 2182	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘(◡𝐽‘𝐾)) = (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾))
151	132, 150	oveq12d 5792	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘((◡𝐽‘𝐾) − 1)) + (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘(◡𝐽‘𝐾))) = ((seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) + (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾)))
152	3	peano2zd 9176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
153		zltp1le 9108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ↔ (𝐾 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
154	3, 11, 153	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ↔ (𝐾 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
155	17, 154	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾))
156		eluz2 9332	. . . 4 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ≤ (◡𝐽‘𝐾)))
157	152, 11, 155, 156	syl3anbrc 1165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
158	3, 157, 113, 126	seq3m1 10241	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) = ((seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘((◡𝐽‘𝐾) − 1)) + (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘(◡𝐽‘𝐾))))
159		iseqf1o.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
160	126, 159, 157, 3, 124	seq3-1p 10253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) = ((⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾) + (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾))))
161		iseqf1o.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
162		fveq2 5421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘𝐾) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘(𝑄‘𝐾)))
163	162	eleq1d 2208	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘𝐾) → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑄‘𝐾)) ∈ 𝑆))
164	90	ralrimiva 2505	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
165	147, 108	eqeltrd 2216	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
166	163, 164, 165	rspcdva 2794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑄‘𝐾)) ∈ 𝑆)
167	137, 166	eqeltrd 2216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾) ∈ 𝑆)
168		eqid 2139	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) = (ℤ≥‘(𝐾 + 1))
169	168, 152, 125, 126	seqf 10234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃):(ℤ≥‘(𝐾 + 1))⟶𝑆)
170	169, 157	ffvelrnd 5556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) ∈ 𝑆)
171	161, 167, 170	caovcomd 5927	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾) + (seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾))) = ((seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) + (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾)))
172	160, 171	eqtrd 2172	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) = ((seq(𝐾 + 1)( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) + (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝐾)))
173	151, 158, 172	3eqtr4d 2182	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝐾( + , ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)) = (seq𝐾( + , ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃)‘(◡𝐽‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∀wral 2416  ⦋csb 3003  ifcif 3474   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ^◡ccnv 4538  ⟶wf 5119  –1-1-onto→wf1o 5122  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  ...cfz 9790  ..^cfzo 9919  seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumk  10272