ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elicc2i GIF version

Theorem elicc2i 9108
Description: Inference for membership in a closed interval. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
elicc2i.1 𝐴 ∈ ℝ
elicc2i.2 𝐵 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
elicc2i (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵))

Proof of Theorem elicc2i
StepHypRef Expression
1 elicc2i.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 elicc2i.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 elicc2 9107 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
41, 2, 3mp2an 417 1 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 103  w3a 920  wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5564  cr 7112  cle 7286  [,]cicc 9060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-icc 9064
This theorem is referenced by:  0elunit  9154  1elunit  9155  divelunit  9170  lincmb01cmp  9171  iccf1o  9172
  Copyright terms: Public domain W3C validator