Theorem cosq34lt1 12931

Description: Cosine is less than one in the third and fourth quadrants. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosq34lt1	⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Proof of Theorem cosq34lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 12867	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
2		2re 8790	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2, 1	remulcli 7780	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
4	3	rexri 7823	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
5		elico2 9720	. . . . . . . 8 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
6	1, 4, 5	mp2an 422	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
7	6	simp1bi 996	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 7794	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		2cn 8791	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		picn 12868	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
11	9, 10	mulcli 7771	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℂ)
13	8, 12	subcld 8073	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 − (2 · π)) ∈ ℂ)
14		cosneg 11434	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − (2 · π)) ∈ ℂ → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
16	12	mulm1d 8172	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (-1 · (2 · π)) = -(2 · π))
17	16	oveq2d 5790	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + (-1 · (2 · π))) = (𝐴 + -(2 · π)))
18	8, 12	negsubd 8079	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + -(2 · π)) = (𝐴 − (2 · π)))
19	17, 18	eqtrd 2172	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + (-1 · (2 · π))) = (𝐴 − (2 · π)))
20	19	fveq2d 5425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
21		neg1z 9086	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
22		cosper 12891	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℤ) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘𝐴))
23	8, 21, 22	sylancl 409	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘𝐴))
24	15, 20, 23	3eqtr2d 2178	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘𝐴))
25		0xr 7812	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
26	1	rexri 7823	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ*
27		0re 7766	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		pipos 12869	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
29	27, 1, 28	ltleii 7866	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
30	29	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ≤ π)
31		lbicc2 9767	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
32	25, 26, 30, 31	mp3an12i 1319	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ∈ (0[,]π))
33	3	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ)
34	7, 33	resubcld 8143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ)
35	34	renegcld 8142	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ)
36	27	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ∈ ℝ)
37	6	simp3bi 998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
38	7, 33	posdifd 8294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 < (2 · π) ↔ 0 < ((2 · π) − 𝐴)))
39	37, 38	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 < ((2 · π) − 𝐴))
40	8, 12	negsubdi2d 8089	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) = ((2 · π) − 𝐴))
41	39, 40	breqtrrd 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 < -(𝐴 − (2 · π)))
42	36, 35, 41	ltled 7881	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ≤ -(𝐴 − (2 · π)))
43	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → π ∈ ℝ)
44		ax-1cn 7713	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
45	9, 44, 10	subdiri 8170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 1) · π) = ((2 · π) − (1 · π))
46		2m1e1 8838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
47	46	oveq1i 5784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 − 1) · π) = (1 · π)
48	10	mulid2i 7769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
49	47, 48	eqtri 2160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 1) · π) = π
50	48	oveq2i 5785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) − (1 · π)) = ((2 · π) − π)
51	45, 49, 50	3eqtr3ri 2169	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) − π) = π
52	6	simp2bi 997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → π ≤ 𝐴)
53	51, 52	eqbrtrid 3963	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → ((2 · π) − π) ≤ 𝐴)
54	33, 43, 7, 53	subled 8310	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → ((2 · π) − 𝐴) ≤ π)
55	40, 54	eqbrtrd 3950	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ≤ π)
56	27, 1	elicc2i 9722	. . . . 5 ⊢ (-(𝐴 − (2 · π)) ∈ (0[,]π) ↔ (-(𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐴 − (2 · π)) ∧ -(𝐴 − (2 · π)) ≤ π))
57	35, 42, 55, 56	syl3anbrc 1165	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ∈ (0[,]π))
58	32, 57, 41	cosordlem 12930	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) < (cos‘0))
59		cos0 11437	. . 3 ⊢ (cos‘0) = 1
60	58, 59	breqtrdi 3969	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) < 1)
61	24, 60	eqbrtrrd 3952	1 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625  ℝ^*cxr 7799   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933  -cneg 7934  2c2 8771  ℤcz 9054  [,)cico 9673  [,]cicc 9674  cosccos 11351  πcpi 11353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740  ax-pre-suploc 7741  ax-addf 7742  ax-mulf 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-ioo 9675  df-ioc 9676  df-ico 9677  df-icc 9678  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-bc 10494  df-ihash 10522  df-shft 10587  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-sin 11356  df-cos 11357  df-pi 11359  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-ntr 12265  df-cn 12357  df-cnp 12358  df-tx 12422  df-cncf 12727  df-limced 12794  df-dvap 12795

This theorem is referenced by:  cos02pilt1  12932