ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elioomnf GIF version

Theorem elioomnf 9067
Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioomnf (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem elioomnf
StepHypRef Expression
1 mnfxr 7237 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
2 elioo2 9020 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
31, 2mpan 415 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
4 an32 527 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ -∞ < 𝐵))
5 df-3an 922 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴))
6 mnflt 8934 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
76adantr 270 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → -∞ < 𝐵)
87pm4.71i 383 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ -∞ < 𝐵))
94, 5, 83bitr4i 210 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴))
103, 9syl6bb 194 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920  wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543  cr 7042  -∞cmnf 7213  *cxr 7214   < clt 7215  (,)cioo 8987
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-ioo 8991
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator