ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqoprab2b GIF version

Theorem eqoprab2b 5590
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b 4043. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
eqoprab2b ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))

Proof of Theorem eqoprab2b
StepHypRef Expression
1 ssoprab2b 5589 . . 3 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))
2 ssoprab2b 5589 . . 3 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑))
31, 2anbi12i 441 . 2 (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ∧ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
4 eqss 2987 . 2 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ∧ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}))
5 2albiim 1393 . . . 4 (∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ↔ (∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
65albii 1375 . . 3 (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ↔ ∀𝑥(∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
7 19.26 1386 . . 3 (∀𝑥(∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑦𝑧(𝜓𝜑)) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
86, 7bitri 177 . 2 (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
93, 4, 83bitr4i 205 1 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wal 1257   = wceq 1259  wss 2944  {coprab 5540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-setind 4289
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-oprab 5543
This theorem is referenced by:  mpt22eqb  5637
  Copyright terms: Public domain W3C validator