Theorem euen1 6696

Description: Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
euen1	⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)

Proof of Theorem euen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuen1 6695	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ V 𝜑 ↔ {𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} ≈ 1o)
2		reuv 2705	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ V 𝜑 ↔ ∃!𝑥𝜑)
3		rabab 2707	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ 𝜑}
4	3	breq1i 3936	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} ≈ 1o ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)
5	1, 2, 4	3bitr3i 209	1 ⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 104  ∃!weu 1999  {cab 2125  ∃!wreu 2418  {crab 2420  Vcvv 2686   class class class wbr 3929  1_oc1o 6306   ≈ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-en 6635

This theorem is referenced by:  euen1b  6697