ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  euen1 GIF version

Theorem euen1 6341
Description: Two ways to express "exactly one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
euen1 (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≈ 1𝑜)

Proof of Theorem euen1
StepHypRef Expression
1 reuen1 6340 . 2 (∃!𝑥 ∈ V 𝜑 ↔ {𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} ≈ 1𝑜)
2 reuv 2619 . 2 (∃!𝑥 ∈ V 𝜑 ↔ ∃!𝑥𝜑)
3 rabab 2621 . . 3 {𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} = {𝑥𝜑}
43breq1i 3794 . 2 ({𝑥 ∈ V ∣ 𝜑} ≈ 1𝑜 ↔ {𝑥𝜑} ≈ 1𝑜)
51, 2, 43bitr3i 208 1 (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≈ 1𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 103  ∃!weu 1942  {cab 2068  ∃!wreu 2351  {crab 2353  Vcvv 2602   class class class wbr 3787  1𝑜c1o 6052  cen 6278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-suc 4128  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-1o 6059  df-en 6281
This theorem is referenced by:  euen1b  6342
  Copyright terms: Public domain W3C validator