ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1imass GIF version

Theorem f1imass 5440
Description: Taking images under a one-to-one function preserves subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1imass ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))

Proof of Theorem f1imass
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 495 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → 𝐶𝐴)
21sseld 2971 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐶𝑎𝐴))
3 simplr 490 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷))
43sseld 2971 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐶) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷)))
5 simplll 493 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
6 simpr 107 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎𝐴)
7 simp1rl 980 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐶𝐴)
873expa 1115 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐶𝐴)
9 f1elima 5439 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝑎𝐴𝐶𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐶) ↔ 𝑎𝐶))
105, 6, 8, 9syl3anc 1146 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐶) ↔ 𝑎𝐶))
11 simp1rr 981 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐷𝐴)
12113expa 1115 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐷𝐴)
13 f1elima 5439 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝑎𝐴𝐷𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ 𝑎𝐷))
145, 6, 12, 13syl3anc 1146 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ 𝑎𝐷))
154, 10, 143imtr3d 195 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎𝐶𝑎𝐷))
1615ex 112 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐴 → (𝑎𝐶𝑎𝐷)))
172, 16syld 44 . . . . 5 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐶 → (𝑎𝐶𝑎𝐷)))
1817pm2.43d 48 . . . 4 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → (𝑎𝐶𝑎𝐷))
1918ssrdv 2978 . . 3 (((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) ∧ (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷)) → 𝐶𝐷)
2019ex 112 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) → 𝐶𝐷))
21 imass2 4728 . 2 (𝐶𝐷 → (𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷))
2220, 21impbid1 134 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ (𝐶𝐴𝐷𝐴)) → ((𝐹𝐶) ⊆ (𝐹𝐷) ↔ 𝐶𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wcel 1409  wss 2944  cima 4375  1-1wf1 4926  cfv 4929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2787  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fv 4937
This theorem is referenced by:  f1imaeq  5441  f1imapss  5442
  Copyright terms: Public domain W3C validator