ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ffvresb GIF version

Theorem ffvresb 5381
Description: A necessary and sufficient condition for a restricted function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ffvresb (Fun 𝐹 → ((𝐹𝐴):𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem ffvresb
StepHypRef Expression
1 fdm 5102 . . . . . 6 ((𝐹𝐴):𝐴𝐵 → dom (𝐹𝐴) = 𝐴)
2 dmres 4681 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
3 inss2 3204 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹
42, 3eqsstri 3039 . . . . . 6 dom (𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹
51, 4syl6eqssr 3060 . . . . 5 ((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝐴 ⊆ dom 𝐹)
65sselda 3009 . . . 4 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7 fvres 5251 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
87adantl 271 . . . . 5 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
9 ffvelrn 5353 . . . . 5 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵)
108, 9eqeltrrd 2160 . . . 4 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
116, 10jca 300 . . 3 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
1211ralrimiva 2439 . 2 ((𝐹𝐴):𝐴𝐵 → ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
13 simpl 107 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
1413ralimi 2431 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom 𝐹)
15 dfss3 2999 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom 𝐹)
1614, 15sylibr 132 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
17 funfn 4982 . . . . . 6 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
18 fnssres 5064 . . . . . 6 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) Fn 𝐴)
1917, 18sylanb 278 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) Fn 𝐴)
2016, 19sylan2 280 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹𝐴) Fn 𝐴)
21 simpr 108 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
227eleq1d 2151 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → (((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
2321, 22syl5ibr 154 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵))
2423ralimia 2429 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵)
2524adantl 271 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵)
26 fnfvrnss 5378 . . . . 5 (((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵)
2720, 25, 26syl2anc 403 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → ran (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵)
28 df-f 4957 . . . 4 ((𝐹𝐴):𝐴𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ∧ ran (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵))
2920, 27, 28sylanbrc 408 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹𝐴):𝐴𝐵)
3029ex 113 . 2 (Fun 𝐹 → (∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → (𝐹𝐴):𝐴𝐵))
3112, 30impbid2 141 1 (Fun 𝐹 → ((𝐹𝐴):𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  cin 2982  wss 2983  dom cdm 4392  ran crn 4393  cres 4394  Fun wfun 4947   Fn wfn 4948  wf 4949  cfv 4953
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-sbc 2826  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-fv 4961
This theorem is referenced by:  tfrcl  6034  frecfcllem  6074
  Copyright terms: Public domain W3C validator