Theorem inss2 3297

Description: The intersection of two classes is a subset of one of them. Part of Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 27-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
inss2	⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem inss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3268	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
2		inss1 3296	. 2 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐵
3	1, 2	eqsstrri 3130	1 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084

This theorem is referenced by:  difin0  3436  bnd2  4097  ordin  4307  relin2  4658  relres  4847  ssrnres  4981  cnvcnv  4991  funinsn  5172  funimaexg  5207  fnresin2  5238  ssimaex  5482  ffvresb  5583  ofrfval  5990  ofvalg  5991  ofrval  5992  off  5994  ofres  5996  ofco  6000  offres  6033  tpostpos  6161  smores3  6190  tfrlem5  6211  tfrexlem  6231  erinxp  6503  pmresg  6570  unfiin  6814  ltrelpi  7139  peano5nnnn  7707  peano5nni  8730  rexanuz  10767  structcnvcnv  11985  restsspw  12140  eltg4i  12234  ntrss2  12300  ntrin  12303  isopn3  12304  resttopon  12350  restuni2  12356  cnrest2r  12416  cnptopresti  12417  cnptoprest  12418  lmss  12425  metrest  12685  tgioo  12725  peano5set  13148