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Theorem tfrcl 6034
 Description: Closure for transfinite recursion. As with tfr1on 6020, the characteristic function must be defined up to a suitable point, not necessarily on all ordinals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f 𝐹 = recs(𝐺)
tfrcl.g (𝜑 → Fun 𝐺)
tfrcl.x (𝜑 → Ord 𝑋)
tfrcl.ex ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
tfrcl.u ((𝜑𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
tfrcl.yx (𝜑𝑌 𝑋)
Assertion
Ref Expression
tfrcl (𝜑 → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹,𝑥   𝑓,𝐺,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑌(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem tfrcl
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrcl.x . . . 4 (𝜑 → Ord 𝑋)
2 orduni 4267 . . . 4 (Ord 𝑋 → Ord 𝑋)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑 → Ord 𝑋)
4 tfrcl.yx . . 3 (𝜑𝑌 𝑋)
5 ordelon 4166 . . 3 ((Ord 𝑋𝑌 𝑋) → 𝑌 ∈ On)
63, 4, 5syl2anc 403 . 2 (𝜑𝑌 ∈ On)
74ancli 316 . 2 (𝜑 → (𝜑𝑌 𝑋))
8 eleq1 2145 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 𝑋𝑘 𝑋))
98anbi2d 452 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑𝑤 𝑋) ↔ (𝜑𝑘 𝑋)))
10 fveq2 5230 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
1110eleq1d 2151 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
129, 11imbi12d 232 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (((𝜑𝑤 𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
13 eleq1 2145 . . . . 5 (𝑤 = 𝑌 → (𝑤 𝑋𝑌 𝑋))
1413anbi2d 452 . . . 4 (𝑤 = 𝑌 → ((𝜑𝑤 𝑋) ↔ (𝜑𝑌 𝑋)))
15 fveq2 5230 . . . . 5 (𝑤 = 𝑌 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑌))
1615eleq1d 2151 . . . 4 (𝑤 = 𝑌 → ((𝐹𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑌) ∈ 𝑆))
1714, 16imbi12d 232 . . 3 (𝑤 = 𝑌 → (((𝜑𝑤 𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑𝑌 𝑋) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆)))
18 tfrcl.f . . . . . . 7 𝐹 = recs(𝐺)
19 tfrcl.g . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐺)
2019ad2antrl 474 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Fun 𝐺)
211ad2antrl 474 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Ord 𝑋)
22 tfrcl.ex . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
23223adant1r 1163 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
24233adant1l 1162 . . . . . . 7 ((((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
25 tfrcl.u . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
2625adantlr 461 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 𝑋) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
2726adantll 460 . . . . . . 7 ((((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
28 simprr 499 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤 𝑋)
2918, 20, 21, 24, 27, 28tfrcldm 6033 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)
3018tfr2a 5991 . . . . . 6 (𝑤 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3129, 30syl 14 . . . . 5 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3219ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Fun 𝐺)
3332adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → Fun 𝐺)
3433adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → Fun 𝐺)
351ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Ord 𝑋)
3635adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → Ord 𝑋)
3736adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → Ord 𝑋)
38 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝜑)
3938, 22syl3an1 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
40393adant1r 1163 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
4138, 25sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
4241adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
4336, 2syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → Ord 𝑋)
44 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘𝑤)
45 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑤 𝑋)
4644, 45jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝑘𝑤𝑤 𝑋))
47 ordtr1 4171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord 𝑋 → ((𝑘𝑤𝑤 𝑋) → 𝑘 𝑋))
4843, 46, 47sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘 𝑋)
4948adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → 𝑘 𝑋)
5018, 34, 37, 40, 42, 49tfrcldm 6033 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
5138, 48jca 300 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝜑𝑘 𝑋))
5251imim1i 59 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
5352impcom 123 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
5450, 53jca 300 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
5554ex 113 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
5655ralimdva 2434 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
5756imp 122 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
5857an32s 533 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
59 tfrfun 5990 . . . . . . . . . . 11 Fun recs(𝐺)
6018funeqi 4972 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 ↔ Fun recs(𝐺))
6159, 60mpbir 144 . . . . . . . . . 10 Fun 𝐹
6261a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Fun 𝐹)
63 ffvresb 5381 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 ↔ ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
6462, 63syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 ↔ ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
6558, 64mpbird 165 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤):𝑤𝑆)
66 vex 2613 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
67 fex 5441 . . . . . . 7 (((𝐹𝑤):𝑤𝑆𝑤 ∈ V) → (𝐹𝑤) ∈ V)
6865, 66, 67sylancl 404 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ V)
69 feq2 5082 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑓:𝑥𝑆𝑓:𝑤𝑆))
7069imbi1d 229 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
7170albidv 1747 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
72223expia 1141 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7372alrimiv 1797 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7473ralrimiva 2439 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7574ad2antrl 474 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7666sucid 4200 . . . . . . . . . 10 𝑤 ∈ suc 𝑤
7776a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤 ∈ suc 𝑤)
78 suceq 4185 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → suc 𝑥 = suc 𝑤)
7978eleq1d 2151 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (suc 𝑥𝑋 ↔ suc 𝑤𝑋))
8025ralrimiva 2439 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 𝑋 suc 𝑥𝑋)
8180ad2antrl 474 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑥 𝑋 suc 𝑥𝑋)
8279, 81, 28rspcdva 2715 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → suc 𝑤𝑋)
8377, 82jca 300 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝑤 ∈ suc 𝑤 ∧ suc 𝑤𝑋))
84 ordtr1 4171 . . . . . . . 8 (Ord 𝑋 → ((𝑤 ∈ suc 𝑤 ∧ suc 𝑤𝑋) → 𝑤𝑋))
8521, 83, 84sylc 61 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤𝑋)
8671, 75, 85rspcdva 2715 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑓(𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
87 feq1 5081 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑤) → (𝑓:𝑤𝑆 ↔ (𝐹𝑤):𝑤𝑆))
88 fveq2 5230 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹𝑤) → (𝐺𝑓) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
8988eleq1d 2151 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑤) → ((𝐺𝑓) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆))
9087, 89imbi12d 232 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑤) → ((𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 → (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆)))
9190spcgv 2694 . . . . . 6 ((𝐹𝑤) ∈ V → (∀𝑓(𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) → ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 → (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆)))
9268, 86, 65, 91syl3c 62 . . . . 5 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆)
9331, 92eqeltrd 2159 . . . 4 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆)
9493exp31 356 . . 3 (𝑤 ∈ On → (∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → ((𝜑𝑤 𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆)))
9512, 17, 94tfis3 4355 . 2 (𝑌 ∈ On → ((𝜑𝑌 𝑋) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆))
966, 7, 95sylc 61 1 (𝜑 → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 920  ∀wal 1283   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∀wral 2353  Vcvv 2610  ∪ cuni 3621  Ord word 4145  Oncon0 4146  suc csuc 4148  dom cdm 4391   ↾ cres 4393  Fun wfun 4946  ⟶wf 4948  ‘cfv 4952  recscrecs 5974 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-recs 5975 This theorem is referenced by:  rdgon  6056  freccllem  6072  frecfcllem  6074
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