ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqeqceilz GIF version

Theorem flqeqceilz 9233
Description: A rational number is an integer iff its floor equals its ceiling. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqeqceilz (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

Proof of Theorem flqeqceilz
StepHypRef Expression
1 flid 9199 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
2 ceilid 9230 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (⌈‘𝐴) = 𝐴)
31, 2eqtr4d 2089 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴))
4 flqcl 9190 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
5 zq 8628 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
64, 5syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
7 qdceq 9174 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → DECID (⌊‘𝐴) = 𝐴)
86, 7mpancom 407 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → DECID (⌊‘𝐴) = 𝐴)
9 exmiddc 753 . . . 4 (DECID (⌊‘𝐴) = 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∨ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴))
108, 9syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∨ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴))
11 eqeq1 2060 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
1211adantr 265 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℚ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
13 ceilqidz 9231 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌈‘𝐴) = 𝐴))
14 eqcom 2056 . . . . . . . . 9 ((⌈‘𝐴) = 𝐴𝐴 = (⌈‘𝐴))
1513, 14syl6bb 189 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
1615biimprd 151 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
1716adantl 266 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℚ) → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
1812, 17sylbid 143 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℚ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
1918ex 112 . . . 4 ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
20 flqle 9193 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
21 df-ne 2219 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
22 necom 2302 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
23 qltlen 8642 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘𝐴) ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))))
246, 23mpancom 407 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))))
25 breq1 3792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
2625adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
27 ceilqge 9225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ≤ (⌈‘𝐴))
28 qre 8627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
29 ceilqcl 9223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℚ → (⌈‘𝐴) ∈ ℤ)
3029zred 8389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℚ → (⌈‘𝐴) ∈ ℝ)
3128, 30lenltd 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) ↔ ¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
32 pm2.21 555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴 → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3331, 32syl6bi 156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ)))
3427, 33mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3534adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3626, 35sylbid 143 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3736ex 112 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ)))
3837com23 76 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
3924, 38sylbird 163 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
4039expd 249 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
4140com3r 77 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
4222, 41sylbi 118 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
4321, 42sylbir 129 . . . . 5 (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
4420, 43mpdi 42 . . . 4 (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
4519, 44jaoi 644 . . 3 (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∨ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴) → (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
4610, 45mpcom 36 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
473, 46impbid2 135 1 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 637  DECID wdc 751   = wceq 1257  wcel 1407  wne 2218   class class class wbr 3789  cfv 4927   < clt 7089  cle 7090  cz 8272  cq 8621  cfl 9185  cceil 9186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-mulrcl 7011  ax-addcom 7012  ax-mulcom 7013  ax-addass 7014  ax-mulass 7015  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-1rid 7019  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-precex 7022  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-apti 7027  ax-pre-ltadd 7028  ax-pre-mulgt0 7029  ax-pre-mulext 7030  ax-arch 7031
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rmo 2329  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-sub 7217  df-neg 7218  df-reap 7610  df-ap 7617  df-div 7696  df-inn 7961  df-n0 8210  df-z 8273  df-q 8622  df-rp 8652  df-fl 9187  df-ceil 9188
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator