ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnniniseg2 GIF version

Theorem fnniniseg2 5318
Description: Support sets of functions expressed as abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnniniseg2 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fnniniseg2
StepHypRef Expression
1 fncnvima2 5316 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})})
2 funfvex 5220 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
32funfni 5027 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
43biantrurd 293 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵)))
5 eldifsn 3523 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵))
64, 5syl6rbbr 192 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵}) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵))
76rabbidva 2565 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ {𝐵})} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵})
81, 7eqtrd 2088 1 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ (V ∖ {𝐵})) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝐵})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  wne 2220  {crab 2327  Vcvv 2574  cdif 2942  {csn 3403  ccnv 4372  cima 4376   Fn wfn 4925  cfv 4930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-fv 4938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator