Theorem funfvex 5438

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5131	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
2		funfveu 5434	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
3		euiotaex 5104	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (℩𝑦𝐴𝐹𝑦) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2226	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  ∃!weu 1999  Vcvv 2686   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  ℩cio 5086  Fun wfun 5117  ‘cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5462  fvelrnb  5469  funimass4  5472  fvelimab  5477  fniinfv  5479  funfvdm  5484  dmfco  5489  fvco2  5490  eqfnfv  5518  fndmdif  5525  fndmin  5527  fvimacnvi  5534  fvimacnv  5535  funconstss  5538  fniniseg  5540  fniniseg2  5542  fnniniseg2  5543  rexsupp  5544  fvelrn  5551  rexrn  5557  ralrn  5558  dff3im  5565  fmptco  5586  fsn2  5594  fnressn  5606  resfunexg  5641  eufnfv  5648  funfvima3  5651  rexima  5656  ralima  5657  fniunfv  5663  elunirn  5667  dff13  5669  foeqcnvco  5691  f1eqcocnv  5692  isocnv2  5713  isoini  5719  f1oiso  5727  fnovex  5804  suppssof1  5999  offveqb  6001  1stexg  6065  2ndexg  6066  smoiso  6199  rdgtfr  6271  rdgruledefgg  6272  rdgivallem  6278  frectfr  6297  frecrdg  6305  en1  6693  fundmen  6700  fnfi  6825  ordiso2  6920  climshft2  11075  slotex  11986  strsetsid  11992