Theorem funrnfi 6830

Description: The range of a finite relation is finite if its converse is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
funrnfi	⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem funrnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4550	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		relcnvfi 6829	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)
3	2	3adant2 1000	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)
4		simp2 982	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → Fun ◡𝐴)
5		fundmfi 6826	. . 3 ⊢ ((◡𝐴 ∈ Fin ∧ Fun ◡𝐴) → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
6	3, 4, 5	syl2anc 408	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrid 2226	1 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Fun ◡𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480  ^◡ccnv 4538  dom cdm 4539  ran crn 4540  Rel wrel 4544  Fun wfun 5117  Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  6832