ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddpos GIF version

Theorem ltaddpos 7612
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltaddpos ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))

Proof of Theorem ltaddpos
StepHypRef Expression
1 0re 7170 . . 3 0 ∈ ℝ
2 ltadd2 7579 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 0) < (𝐵 + 𝐴)))
31, 2mp3an1 1256 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 0) < (𝐵 + 𝐴)))
4 recn 7157 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
54addid1d 7313 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
65adantl 271 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
76breq1d 3797 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 0) < (𝐵 + 𝐴) ↔ 𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
83, 7bitrd 186 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537  cr 7031  0cc0 7032   + caddc 7035   < clt 7204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-i2m1 7132  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-pre-ltadd 7143
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-xp 4371  df-iota 4891  df-fv 4934  df-ov 5540  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-ltxr 7209
This theorem is referenced by:  ltaddpos2  7613  ltsubpos  7614  posdif  7615  ltaddposi  7654  ltaddposd  7685  ltp1  7978  recreclt  8034  ltaddrp  8839  ltoddhalfle  10426
  Copyright terms: Public domain W3C validator