ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqaddmulmod GIF version

Theorem modqaddmulmod 9462
Description: The sum of a rational number and the product of a second rational number modulo a modulus and an integer equals the sum of the rational number and the product of the other rational number and the integer modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqaddmulmod (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))

Proof of Theorem modqaddmulmod
StepHypRef Expression
1 simpl1 942 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2 qcn 8789 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
31, 2syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 simpl2 943 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℚ)
5 simprl 498 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
6 simprr 499 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < 𝑀)
74, 5, 6modqcld 9399 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℚ)
8 simpl3 944 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐶 ∈ ℤ)
9 zq 8781 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℚ)
108, 9syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐶 ∈ ℚ)
11 qmulcl 8792 . . . . . 6 (((𝐵 mod 𝑀) ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℚ)
127, 10, 11syl2anc 403 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℚ)
13 qcn 8789 . . . . 5 (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℚ → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℂ)
1412, 13syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℂ)
153, 14addcomd 7315 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) = (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴))
1615oveq1d 5552 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
1793ad2ant3 962 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℚ)
1817adantr 270 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐶 ∈ ℚ)
197, 18, 11syl2anc 403 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) ∈ ℚ)
20 qmulcl 8792 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
214, 18, 20syl2anc 403 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ)
2221, 5, 6modqcld 9399 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) ∈ ℚ)
23 modqmulmod 9460 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
24233adantl1 1095 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
25 modqabs2 9429 . . . . 5 (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
2621, 5, 6, 25syl3anc 1170 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀))
2724, 26eqtr4d 2117 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) mod 𝑀))
2819, 22, 1, 5, 6, 27modqadd1 9432 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
29 modqaddmod 9434 . . . 4 ((((𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
3021, 1, 5, 6, 29syl22anc 1171 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀))
31 qcn 8789 . . . . . 6 ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℚ → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
3221, 31syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
3332, 3addcomd 7315 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 · 𝐶)))
3433oveq1d 5552 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐵 · 𝐶) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))
3530, 34eqtrd 2114 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((((𝐵 · 𝐶) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))
3616, 28, 353eqtrd 2118 1 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 + ((𝐵 mod 𝑀) · 𝐶)) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) mod 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537  cc 7030  0cc0 7032   + caddc 7035   · cmul 7037   < clt 7204  cz 8421  cq 8774   mod cmo 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145  ax-arch 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-q 8775  df-rp 8805  df-fl 9341  df-mod 9394
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator