ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negm GIF version

Theorem negm 8498
Description: The image under negation of an inhabited set of reals is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
negm ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem negm
StepHypRef Expression
1 ssel 2936 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℝ))
2 renegcl 7227 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
3 negeq 7160 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = -𝑥 → -𝑧 = --𝑥)
43eleq1d 2106 . . . . . . . . 9 (𝑧 = -𝑥 → (-𝑧𝐴 ↔ --𝑥𝐴))
54elrab3 2696 . . . . . . . 8 (-𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
62, 5syl 14 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ --𝑥𝐴))
7 recn 6971 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
87negnegd 7268 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
98eleq1d 2106 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (--𝑥𝐴𝑥𝐴))
106, 9bitrd 177 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ 𝑥𝐴))
1110biimprd 147 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
121, 11syli 33 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → -𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
13 elex2 2567 . . . 4 (-𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
1412, 13syl6 29 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
1514exlimdv 1700 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}))
1615imp 115 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wex 1381  wcel 1393  {crab 2307  wss 2914  cr 6845  -cneg 7139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-setind 4232  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-addcom 6941  ax-addass 6943  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-cnre 6952
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-br 3762  df-opab 3816  df-id 4027  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-sub 7140  df-neg 7141
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator