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Theorem recextlem1 7894
Description: Lemma for recexap 7896. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
recextlem1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))

Proof of Theorem recextlem1
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 ax-icn 7219 . . . . 5 i ∈ ℂ
3 mulcl 7248 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
42, 3mpan 415 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
54adantl 271 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6 subcl 7460 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
74, 6sylan2 280 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
81, 5, 7adddird 7292 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) + ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵)))))
91, 1, 5subdid 7671 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))))
105, 1, 5subdid 7671 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = (((i · 𝐵) · 𝐴) − ((i · 𝐵) · (i · 𝐵))))
11 mulcom 7250 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · 𝐴))
124, 11sylan2 280 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · 𝐴))
13 ixi 7836 . . . . . . . . . 10 (i · i) = -1
1413oveq1i 5579 . . . . . . . . 9 ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = (-1 · (𝐵 · 𝐵))
15 mulcl 7248 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
1615mulm1d 7667 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1 · (𝐵 · 𝐵)) = -(𝐵 · 𝐵))
1714, 16syl5req 2128 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)))
18 mul4 7393 . . . . . . . . 9 (((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
192, 2, 18mpanl12 427 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · i) · (𝐵 · 𝐵)) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
2017, 19eqtrd 2115 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
2120anidms 389 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
2221adantl 271 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) = ((i · 𝐵) · (i · 𝐵)))
2312, 22oveq12d 5587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵)) = (((i · 𝐵) · 𝐴) − ((i · 𝐵) · (i · 𝐵))))
2410, 23eqtr4d 2118 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵)))
259, 24oveq12d 5587 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐴 − (i · 𝐵))) + ((i · 𝐵) · (𝐴 − (i · 𝐵)))) = (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))))
26 mulcl 7248 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
2726anidms 389 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
2827adantr 270 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ)
29 mulcl 7248 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
304, 29sylan2 280 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
3115negcld 7559 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
3231anidms 389 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
3332adantl 271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
3428, 30, 33npncand 7596 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)))
3515anidms 389 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ)
36 subneg 7510 . . . 4 (((𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
3727, 35, 36syl2an 283 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) − -(𝐵 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
3834, 37eqtrd 2115 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · (i · 𝐵))) + ((𝐴 · (i · 𝐵)) − -(𝐵 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
398, 25, 383eqtrd 2119 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5569  cc 7127  1c1 7130  ici 7131   + caddc 7132   · cmul 7134  cmin 7432  -cneg 7433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3994  ax-setind 4310  ax-resscn 7216  ax-1cn 7217  ax-icn 7219  ax-addcl 7220  ax-addrcl 7221  ax-mulcl 7222  ax-addcom 7224  ax-mulcom 7225  ax-addass 7226  ax-mulass 7227  ax-distr 7228  ax-i2m1 7229  ax-1rid 7231  ax-0id 7232  ax-rnegex 7233  ax-cnre 7235
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4078  df-xp 4400  df-rel 4401  df-cnv 4402  df-co 4403  df-dm 4404  df-iota 4920  df-fun 4957  df-fv 4963  df-riota 5525  df-ov 5572  df-oprab 5573  df-mpt2 5574  df-sub 7434  df-neg 7435
This theorem is referenced by:  recexap  7896
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