ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexun GIF version

Theorem rexun 3150
Description: Restricted existential quantification over union. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.)
Assertion
Ref Expression
rexun (∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐵 𝜑))

Proof of Theorem rexun
StepHypRef Expression
1 df-rex 2329 . 2 (∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑))
2 19.43 1535 . . 3 (∃𝑥((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∨ ∃𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
3 elun 3111 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
43anbi1i 439 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ 𝜑))
5 andir 743 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑥𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)))
64, 5bitri 177 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)))
76exbii 1512 . . 3 (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥((𝑥𝐴𝜑) ∨ (𝑥𝐵𝜑)))
8 df-rex 2329 . . . 4 (∃𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
9 df-rex 2329 . . . 4 (∃𝑥𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵𝜑))
108, 9orbi12i 691 . . 3 ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐵 𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∨ ∃𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
112, 7, 103bitr4i 205 . 2 (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝜑) ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐵 𝜑))
121, 11bitri 177 1 (∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐵 𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wb 102  wo 639  wex 1397  wcel 1409  wrex 2324  cun 2942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949
This theorem is referenced by:  rexprg  3449  rextpg  3451  iunxun  3762
  Copyright terms: Public domain W3C validator