ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ralunb GIF version

Theorem ralunb 3151
Description: Restricted quantification over a union. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
ralunb (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ (∀𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 𝜑))

Proof of Theorem ralunb
StepHypRef Expression
1 elun 3111 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
21imbi1i 231 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝜑))
3 jaob 641 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑥𝐵𝜑)))
42, 3bitri 177 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑥𝐵𝜑)))
54albii 1375 . . 3 (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑) ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑥𝐵𝜑)))
6 19.26 1386 . . 3 (∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑥𝐵𝜑)) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
75, 6bitri 177 . 2 (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
8 df-ral 2328 . 2 (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑))
9 df-ral 2328 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝜑))
10 df-ral 2328 . . 3 (∀𝑥𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝜑))
119, 10anbi12i 441 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
127, 8, 113bitr4i 205 1 (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ (∀𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  wal 1257  wcel 1409  wral 2323  cun 2942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-v 2576  df-un 2949
This theorem is referenced by:  ralun  3152  ralprg  3448  raltpg  3450  ralunsn  3595
  Copyright terms: Public domain W3C validator