Theorem rsqrmo 10139

Description: Uniqueness for the square root function. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rsqrmo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rsqrmo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrl 502	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2		simplrr 503	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
3		simprlr 505	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦))) → 0 ≤ 𝑥)
4		simprrr 507	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦))) → 0 ≤ 𝑦)
5		simprll 504	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦))) → (𝑥↑2) = 𝐴)
6		simprrl 506	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦))) → (𝑦↑2) = 𝐴)
7	5, 6	eqtr4d 2118	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦))) → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
8	1, 2, 3, 4, 7	sq11d 9812	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦))) → 𝑥 = 𝑦)
9	8	ex 113	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
10	9	ralrimivva 2449	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
11		oveq1 5572	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
12	11	eqeq1d 2091	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑦↑2) = 𝐴))
13		breq2 3810	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑦))
14	12, 13	anbi12d 457	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦)))
15	14	rmo4 2795	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ((𝑦↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
16	10, 15	sylibr 132	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∀wral 2353  ∃*wrmo 2356   class class class wbr 3806  (class class class)co 5565  ℝcr 7119  0cc0 7120   ≤ cle 7293  2c2 8233  ↑cexp 9649

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-mulrcl 7214  ax-addcom 7215  ax-mulcom 7216  ax-addass 7217  ax-mulass 7218  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-1rid 7222  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-precex 7225  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-apti 7230  ax-pre-ltadd 7231  ax-pre-mulgt0 7232  ax-pre-mulext 7233

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-frec 6062  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-reap 7819  df-ap 7826  df-div 7905  df-inn 8184  df-2 8242  df-n0 8433  df-z 8510  df-uz 8778  df-iseq 9599  df-iexp 9650

This theorem is referenced by:  rersqreu  10140