Theorem strslfv2d 12004

Description: Deduction version of strslfv 12006. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strslfv2d.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strfv2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strfv2d.f	⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
strfv2d.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
strfv2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
strslfv2d	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strslfv2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strslfv2d.e	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	simpli 110	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
3		strfv2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4	1	simpri 112	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
6	2, 3, 5	strnfvnd 11982	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
7		cnvcnv2 4992	. . . 4 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ↾ V)
8	7	fveq1i 5422	. . 3 ⊢ (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx))
9	5	elexd 2699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ V)
10		fvres 5445	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ V → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ V)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
12	8, 11	syl5eq 2184	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
13		strfv2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝑆)
14		strfv2d.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
15		strfv2d.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
16	15	elexd 2699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
17	9, 16	opelxpd 4572	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
18	14, 17	elind 3261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (𝑆 ∩ (V × V)))
19		cnvcnv 4991	. . . 4 ⊢ ◡◡𝑆 = (𝑆 ∩ (V × V))
20	18, 19	eleqtrrdi 2233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆)
21		funopfv 5461	. . 3 ⊢ (Fun ◡◡𝑆 → (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ ◡◡𝑆 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶))
22	13, 20, 21	sylc 62	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝑆‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
23	6, 12, 22	3eqtr2rd 2179	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ∩ cin 3070  ⟨cop 3530   × cxp 4537  ^◡ccnv 4538   ↾ cres 4541  Fun wfun 5117  ‘cfv 5123  ℕcn 8723  ndxcnx 11959  Slot cslot 11961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-slot 11966

This theorem is referenced by:  strslfv2  12005  strslfv  12006  opelstrsl  12058