Theorem topgrpstrd 12113

Description: A constructed topological group is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
topgrpfn.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
topgrpfnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
topgrpfnd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
topgrpfnd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
topgrpstrd	⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)

Proof of Theorem topgrpstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topgrpfn.w	. 2 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
2		topgrpfnd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		topgrpfnd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
4		topgrpfnd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
5		1nn 8734	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		basendx 12016	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
7		1lt2 8892	. . . 4 ⊢ 1 < 2
8		2nn 8884	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		plusgndx 12055	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) = 2
10		2lt9 8926	. . . 4 ⊢ 2 < 9
11		9nn 8891	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
12		tsetndx 12110	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	strle3g 12054	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨1, 9⟩)
14	2, 3, 4, 13	syl3anc 1216	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨1, 9⟩)
15	1, 14	eqbrtrid 3963	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {ctp 3529  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  1c1 7624  2c2 8774  9c9 8781   Struct cstr 11958  ndxcnx 11959  Basecbs 11962  +_gcplusg 12024  TopSetcts 12030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-inn 8724  df-2 8782  df-3 8783  df-4 8784  df-5 8785  df-6 8786  df-7 8787  df-8 8788  df-9 8789  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-fz 9794  df-struct 11964  df-ndx 11965  df-slot 11966  df-base 11968  df-plusg 12037  df-tset 12043

This theorem is referenced by:  topgrpbasd  12114  topgrpplusgd  12115  topgrptsetd  12116