ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpexg GIF version

Theorem tpexg 4206
Description: An unordered triple of classes exists. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
tpexg ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ V)

Proof of Theorem tpexg
StepHypRef Expression
1 df-tp 3410 . 2 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2 prexg 3974 . . . . 5 ((𝐴𝑈𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
3 snexg 3963 . . . . 5 (𝐶𝑊 → {𝐶} ∈ V)
42, 3anim12i 325 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑉) ∧ 𝐶𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V))
543impa 1110 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V))
6 unexg 4205 . . 3 (({𝐴, 𝐵} ∈ V ∧ {𝐶} ∈ V) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ V)
75, 6syl 14 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ V)
81, 7syl5eqel 2140 1 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896  wcel 1409  Vcvv 2574  cun 2942  {csn 3402  {cpr 3403  {ctp 3404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-tp 3410  df-uni 3608
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator