ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposf2 GIF version

Theorem tposf2 5913
Description: The domain and range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposf2 (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵 → tpos 𝐹:𝐴𝐵))

Proof of Theorem tposf2
StepHypRef Expression
1 ffn 5073 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
2 dffn4 5139 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴𝐹:𝐴onto→ran 𝐹)
31, 2sylib 131 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵𝐹:𝐴onto→ran 𝐹)
4 tposfo2 5912 . . . . . 6 (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴onto→ran 𝐹 → tpos 𝐹:𝐴onto→ran 𝐹))
53, 4syl5 32 . . . . 5 (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵 → tpos 𝐹:𝐴onto→ran 𝐹))
65imp 119 . . . 4 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → tpos 𝐹:𝐴onto→ran 𝐹)
7 fof 5133 . . . 4 (tpos 𝐹:𝐴onto→ran 𝐹 → tpos 𝐹:𝐴⟶ran 𝐹)
86, 7syl 14 . . 3 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → tpos 𝐹:𝐴⟶ran 𝐹)
9 frn 5079 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
109adantl 266 . . 3 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ran 𝐹𝐵)
11 fss 5081 . . 3 ((tpos 𝐹:𝐴⟶ran 𝐹 ∧ ran 𝐹𝐵) → tpos 𝐹:𝐴𝐵)
128, 10, 11syl2anc 397 . 2 ((Rel 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → tpos 𝐹:𝐴𝐵)
1312ex 112 1 (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴𝐵 → tpos 𝐹:𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wss 2944  ccnv 4371  ran crn 4373  Rel wrel 4377   Fn wfn 4924  wf 4925  ontowfo 4927  tpos ctpos 5889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-fo 4935  df-fv 4937  df-tpos 5890
This theorem is referenced by:  tposf  5917
  Copyright terms: Public domain W3C validator