ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrltne GIF version

Theorem xrltne 8829
Description: 'Less than' implies not equal for extended reals. (Contributed by NM, 20-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrltne ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem xrltne
StepHypRef Expression
1 xrltnr 8801 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2 breq2 3795 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐴))
32notbid 602 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
41, 3syl5ibrcom 150 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
54necon2ad 2277 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
65imp 119 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
763adant2 934 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wne 2220   class class class wbr 3791  *cxr 7117   < clt 7118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-pre-ltirr 7053
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-xp 4378  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator