Theorem 19.41rgVD 41321

Description: Virtual deduction proof of 19.41rg 40969. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. 19.41rg 40969 is 19.41rgVD 41321 without virtual deductions and was automatically derived from 19.41rgVD 41321. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

1::	⊢ (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
2:1:	⊢ ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → ( 𝜑 ∧ 𝜓))))
3:2:	⊢ ∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
4:3:	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
5::	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
6:4,5:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))   )
7::	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶    ∀𝑥𝜓   )
8:6,7:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶    ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))   )
9:8:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶    (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
10:9:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
11:5:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → ∀ 𝑥𝜓)   )
12:10,11:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → ( ∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
13:12:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
14:13:	⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ((∃𝑥 𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
qed:14:	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Assertion

Ref	Expression
19.41rgVD	⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Proof of Theorem 19.41rgVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 40993	. . . . . . . . 9 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
2		pm3.2 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
3	2	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
5	4	ax-gen 1796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
6		al2im 1815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))) → (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))))
7	5, 6	e0a 41191	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
8	1, 7	e1a 41046	. . . . . . . 8 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))   )
9		idn2 41032	. . . . . . . 8 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶   ∀𝑥𝜓   )
10		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))) → (∀𝑥𝜓 → ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
11	8, 9, 10	e12 41143	. . . . . . 7 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶   ∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓))   )
12		exim 1834	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
13	11, 12	e2 41050	. . . . . 6 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ,   ∀𝑥𝜓   ▶   (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
14	13	in2 41024	. . . . 5 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∀𝑥𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
15		sp 2182	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → ∀𝑥𝜓))
16	1, 15	e1a 41046	. . . . 5 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → ∀𝑥𝜓)   )
17		imim2 58	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → ((𝜓 → ∀𝑥𝜓) → (𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))))
18	14, 16, 17	e11 41107	. . . 4 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
19		pm2.04 90	. . . 4 ⊢ ((𝜓 → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → (∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
20	18, 19	e1a 41046	. . 3 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   (∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))   )
21		pm3.31 452	. . 3 ⊢ ((∃𝑥𝜑 → (𝜓 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
22	20, 21	e1a 41046	. 2 ⊢ (   ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓)   ▶   ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))   )
23	22	in1 40990	1 ⊢ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) → ((∃𝑥𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398  ∀wal 1535  ∃wex 1780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-12 2177

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-ex 1781  df-vd1 40989  df-vd2 40997

This theorem is referenced by: (None)