Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  df-bj-divc Structured version   Visualization version   GIF version

Definition df-bj-divc 36143
Description: Definition of the divisibility relation (compare df-dvds 16197).

Since 0 is absorbing, (๐ด โˆˆ (โ„‚ฬ… โˆช โ„‚ฬ‚) โ†’ (๐ด โˆฅโ„‚ 0)) and ((0 โˆฅโ„‚ ๐ด) โ†” ๐ด = 0).

(Contributed by BJ, 28-Jul-2023.)

Assertion
Ref Expression
df-bj-divc โˆฅโ„‚ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ ((โ„‚ฬ… ร— โ„‚ฬ…) โˆช (โ„‚ฬ‚ ร— โ„‚ฬ‚)) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คฬ… โˆช โ„คฬ‚)(๐‘› ยทโ„‚ฬ… ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐‘ฆ

Detailed syntax breakdown of Definition df-bj-divc
StepHypRef Expression
1 cdivc 36142 . 2 class โˆฅโ„‚
2 vx . . . . . . 7 setvar ๐‘ฅ
32cv 1540 . . . . . 6 class ๐‘ฅ
4 vy . . . . . . 7 setvar ๐‘ฆ
54cv 1540 . . . . . 6 class ๐‘ฆ
63, 5cop 4634 . . . . 5 class โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ
7 cccbar 36091 . . . . . . 7 class โ„‚ฬ…
87, 7cxp 5674 . . . . . 6 class (โ„‚ฬ… ร— โ„‚ฬ…)
9 ccchat 36108 . . . . . . 7 class โ„‚ฬ‚
109, 9cxp 5674 . . . . . 6 class (โ„‚ฬ‚ ร— โ„‚ฬ‚)
118, 10cun 3946 . . . . 5 class ((โ„‚ฬ… ร— โ„‚ฬ…) โˆช (โ„‚ฬ‚ ร— โ„‚ฬ‚))
126, 11wcel 2106 . . . 4 wff โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ ((โ„‚ฬ… ร— โ„‚ฬ…) โˆช (โ„‚ฬ‚ ร— โ„‚ฬ‚))
13 vn . . . . . . . 8 setvar ๐‘›
1413cv 1540 . . . . . . 7 class ๐‘›
15 cmulc 36121 . . . . . . 7 class ยทโ„‚ฬ…
1614, 3, 15co 7408 . . . . . 6 class (๐‘› ยทโ„‚ฬ… ๐‘ฅ)
1716, 5wceq 1541 . . . . 5 wff (๐‘› ยทโ„‚ฬ… ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ
18 czzbar 36138 . . . . . 6 class โ„คฬ…
19 czzhat 36140 . . . . . 6 class โ„คฬ‚
2018, 19cun 3946 . . . . 5 class (โ„คฬ… โˆช โ„คฬ‚)
2117, 13, 20wrex 3070 . . . 4 wff โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คฬ… โˆช โ„คฬ‚)(๐‘› ยทโ„‚ฬ… ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ
2212, 21wa 396 . . 3 wff (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ ((โ„‚ฬ… ร— โ„‚ฬ…) โˆช (โ„‚ฬ‚ ร— โ„‚ฬ‚)) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คฬ… โˆช โ„คฬ‚)(๐‘› ยทโ„‚ฬ… ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)
2322, 2, 4copab 5210 . 2 class {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ ((โ„‚ฬ… ร— โ„‚ฬ…) โˆช (โ„‚ฬ‚ ร— โ„‚ฬ‚)) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คฬ… โˆช โ„คฬ‚)(๐‘› ยทโ„‚ฬ… ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
241, 23wceq 1541 1 wff โˆฅโ„‚ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆˆ ((โ„‚ฬ… ร— โ„‚ฬ…) โˆช (โ„‚ฬ‚ ร— โ„‚ฬ‚)) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คฬ… โˆช โ„คฬ‚)(๐‘› ยทโ„‚ฬ… ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
Colors of variables: wff setvar class
This definition is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator