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Definition df-hpg 25864
Description: Define the open half plane relation for a geometry 𝐺. Definition 9.7 of [Schwabhauser] p. 71. See hpgbr 25866 to find the same formulation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
df-hpg hpG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ ran (LineG‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))}))
Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑔,𝑖,𝑝,𝑡

Detailed syntax breakdown of Definition df-hpg
StepHypRef Expression
1 chpg 25863 . 2 class hpG
2 vg . . 3 setvar 𝑔
3 cvv 3351 . . 3 class V
4 vd . . . 4 setvar 𝑑
52cv 1630 . . . . . 6 class 𝑔
6 clng 25550 . . . . . 6 class LineG
75, 6cfv 6029 . . . . 5 class (LineG‘𝑔)
87crn 5250 . . . 4 class ran (LineG‘𝑔)
9 va . . . . . . . . . . . . 13 setvar 𝑎
109cv 1630 . . . . . . . . . . . 12 class 𝑎
11 vp . . . . . . . . . . . . . 14 setvar 𝑝
1211cv 1630 . . . . . . . . . . . . 13 class 𝑝
134cv 1630 . . . . . . . . . . . . 13 class 𝑑
1412, 13cdif 3720 . . . . . . . . . . . 12 class (𝑝𝑑)
1510, 14wcel 2145 . . . . . . . . . . 11 wff 𝑎 ∈ (𝑝𝑑)
16 vc . . . . . . . . . . . . 13 setvar 𝑐
1716cv 1630 . . . . . . . . . . . 12 class 𝑐
1817, 14wcel 2145 . . . . . . . . . . 11 wff 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)
1915, 18wa 382 . . . . . . . . . 10 wff (𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑))
20 vt . . . . . . . . . . . . 13 setvar 𝑡
2120cv 1630 . . . . . . . . . . . 12 class 𝑡
22 vi . . . . . . . . . . . . . 14 setvar 𝑖
2322cv 1630 . . . . . . . . . . . . 13 class 𝑖
2410, 17, 23co 6791 . . . . . . . . . . . 12 class (𝑎𝑖𝑐)
2521, 24wcel 2145 . . . . . . . . . . 11 wff 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)
2625, 20, 13wrex 3062 . . . . . . . . . 10 wff 𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)
2719, 26wa 382 . . . . . . . . 9 wff ((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐))
28 vb . . . . . . . . . . . . 13 setvar 𝑏
2928cv 1630 . . . . . . . . . . . 12 class 𝑏
3029, 14wcel 2145 . . . . . . . . . . 11 wff 𝑏 ∈ (𝑝𝑑)
3130, 18wa 382 . . . . . . . . . 10 wff (𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑))
3229, 17, 23co 6791 . . . . . . . . . . . 12 class (𝑏𝑖𝑐)
3321, 32wcel 2145 . . . . . . . . . . 11 wff 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)
3433, 20, 13wrex 3062 . . . . . . . . . 10 wff 𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)
3531, 34wa 382 . . . . . . . . 9 wff ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐))
3627, 35wa 382 . . . . . . . 8 wff (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))
3736, 16, 12wrex 3062 . . . . . . 7 wff 𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))
38 citv 25549 . . . . . . . 8 class Itv
395, 38cfv 6029 . . . . . . 7 class (Itv‘𝑔)
4037, 22, 39wsbc 3587 . . . . . 6 wff [(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))
41 cbs 16057 . . . . . . 7 class Base
425, 41cfv 6029 . . . . . 6 class (Base‘𝑔)
4340, 11, 42wsbc 3587 . . . . 5 wff [(Base‘𝑔) / 𝑝][(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))
4443, 9, 28copab 4846 . . . 4 class {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))}
454, 8, 44cmpt 4863 . . 3 class (𝑑 ∈ ran (LineG‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))})
462, 3, 45cmpt 4863 . 2 class (𝑔 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ ran (LineG‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))}))
471, 46wceq 1631 1 wff hpG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ ran (LineG‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))}))
Colors of variables: wff setvar class
This definition is referenced by:  ishpg  25865
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