Detailed syntax breakdown of Definition df-mul
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cmul 10763 |
. 2
class
· |
2 | | vx |
. . . . . . 7
setvar 𝑥 |
3 | 2 | cv 1542 |
. . . . . 6
class 𝑥 |
4 | | cc 10756 |
. . . . . 6
class
ℂ |
5 | 3, 4 | wcel 2112 |
. . . . 5
wff 𝑥 ∈ ℂ |
6 | | vy |
. . . . . . 7
setvar 𝑦 |
7 | 6 | cv 1542 |
. . . . . 6
class 𝑦 |
8 | 7, 4 | wcel 2112 |
. . . . 5
wff 𝑦 ∈ ℂ |
9 | 5, 8 | wa 399 |
. . . 4
wff (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈
ℂ) |
10 | | vw |
. . . . . . . . . . . . 13
setvar 𝑤 |
11 | 10 | cv 1542 |
. . . . . . . . . . . 12
class 𝑤 |
12 | | vv |
. . . . . . . . . . . . 13
setvar 𝑣 |
13 | 12 | cv 1542 |
. . . . . . . . . . . 12
class 𝑣 |
14 | 11, 13 | cop 4563 |
. . . . . . . . . . 11
class
〈𝑤, 𝑣〉 |
15 | 3, 14 | wceq 1543 |
. . . . . . . . . 10
wff 𝑥 = 〈𝑤, 𝑣〉 |
16 | | vu |
. . . . . . . . . . . . 13
setvar 𝑢 |
17 | 16 | cv 1542 |
. . . . . . . . . . . 12
class 𝑢 |
18 | | vf |
. . . . . . . . . . . . 13
setvar 𝑓 |
19 | 18 | cv 1542 |
. . . . . . . . . . . 12
class 𝑓 |
20 | 17, 19 | cop 4563 |
. . . . . . . . . . 11
class
〈𝑢, 𝑓〉 |
21 | 7, 20 | wceq 1543 |
. . . . . . . . . 10
wff 𝑦 = 〈𝑢, 𝑓〉 |
22 | 15, 21 | wa 399 |
. . . . . . . . 9
wff (𝑥 = 〈𝑤, 𝑣〉 ∧ 𝑦 = 〈𝑢, 𝑓〉) |
23 | | vz |
. . . . . . . . . . 11
setvar 𝑧 |
24 | 23 | cv 1542 |
. . . . . . . . . 10
class 𝑧 |
25 | | cmr 10513 |
. . . . . . . . . . . . 13
class
·R |
26 | 11, 17, 25 | co 7234 |
. . . . . . . . . . . 12
class (𝑤
·R 𝑢) |
27 | | cm1r 10511 |
. . . . . . . . . . . . 13
class
-1R |
28 | 13, 19, 25 | co 7234 |
. . . . . . . . . . . . 13
class (𝑣
·R 𝑓) |
29 | 27, 28, 25 | co 7234 |
. . . . . . . . . . . 12
class
(-1R ·R (𝑣
·R 𝑓)) |
30 | | cplr 10512 |
. . . . . . . . . . . 12
class
+R |
31 | 26, 29, 30 | co 7234 |
. . . . . . . . . . 11
class ((𝑤
·R 𝑢) +R
(-1R ·R (𝑣
·R 𝑓))) |
32 | 13, 17, 25 | co 7234 |
. . . . . . . . . . . 12
class (𝑣
·R 𝑢) |
33 | 11, 19, 25 | co 7234 |
. . . . . . . . . . . 12
class (𝑤
·R 𝑓) |
34 | 32, 33, 30 | co 7234 |
. . . . . . . . . . 11
class ((𝑣
·R 𝑢) +R (𝑤
·R 𝑓)) |
35 | 31, 34 | cop 4563 |
. . . . . . . . . 10
class
〈((𝑤
·R 𝑢) +R
(-1R ·R (𝑣
·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R
(𝑤
·R 𝑓))〉 |
36 | 24, 35 | wceq 1543 |
. . . . . . . . 9
wff 𝑧 = 〈((𝑤 ·R 𝑢) +R
(-1R ·R (𝑣
·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R
(𝑤
·R 𝑓))〉 |
37 | 22, 36 | wa 399 |
. . . . . . . 8
wff ((𝑥 = 〈𝑤, 𝑣〉 ∧ 𝑦 = 〈𝑢, 𝑓〉) ∧ 𝑧 = 〈((𝑤 ·R 𝑢) +R
(-1R ·R (𝑣
·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R
(𝑤
·R 𝑓))〉) |
38 | 37, 18 | wex 1787 |
. . . . . . 7
wff
∃𝑓((𝑥 = 〈𝑤, 𝑣〉 ∧ 𝑦 = 〈𝑢, 𝑓〉) ∧ 𝑧 = 〈((𝑤 ·R 𝑢) +R
(-1R ·R (𝑣
·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R
(𝑤
·R 𝑓))〉) |
39 | 38, 16 | wex 1787 |
. . . . . 6
wff
∃𝑢∃𝑓((𝑥 = 〈𝑤, 𝑣〉 ∧ 𝑦 = 〈𝑢, 𝑓〉) ∧ 𝑧 = 〈((𝑤 ·R 𝑢) +R
(-1R ·R (𝑣
·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R
(𝑤
·R 𝑓))〉) |
40 | 39, 12 | wex 1787 |
. . . . 5
wff
∃𝑣∃𝑢∃𝑓((𝑥 = 〈𝑤, 𝑣〉 ∧ 𝑦 = 〈𝑢, 𝑓〉) ∧ 𝑧 = 〈((𝑤 ·R 𝑢) +R
(-1R ·R (𝑣
·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R
(𝑤
·R 𝑓))〉) |
41 | 40, 10 | wex 1787 |
. . . 4
wff
∃𝑤∃𝑣∃𝑢∃𝑓((𝑥 = 〈𝑤, 𝑣〉 ∧ 𝑦 = 〈𝑢, 𝑓〉) ∧ 𝑧 = 〈((𝑤 ·R 𝑢) +R
(-1R ·R (𝑣
·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R
(𝑤
·R 𝑓))〉) |
42 | 9, 41 | wa 399 |
. . 3
wff ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧
∃𝑤∃𝑣∃𝑢∃𝑓((𝑥 = 〈𝑤, 𝑣〉 ∧ 𝑦 = 〈𝑢, 𝑓〉) ∧ 𝑧 = 〈((𝑤 ·R 𝑢) +R
(-1R ·R (𝑣
·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R
(𝑤
·R 𝑓))〉)) |
43 | 42, 2, 6, 23 | coprab 7235 |
. 2
class
{〈〈𝑥,
𝑦〉, 𝑧〉 ∣ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ∃𝑤∃𝑣∃𝑢∃𝑓((𝑥 = 〈𝑤, 𝑣〉 ∧ 𝑦 = 〈𝑢, 𝑓〉) ∧ 𝑧 = 〈((𝑤 ·R 𝑢) +R
(-1R ·R (𝑣
·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R
(𝑤
·R 𝑓))〉))} |
44 | 1, 43 | wceq 1543 |
1
wff · =
{〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ∃𝑤∃𝑣∃𝑢∃𝑓((𝑥 = 〈𝑤, 𝑣〉 ∧ 𝑦 = 〈𝑢, 𝑓〉) ∧ 𝑧 = 〈((𝑤 ·R 𝑢) +R
(-1R ·R (𝑣
·R 𝑓))), ((𝑣 ·R 𝑢) +R
(𝑤
·R 𝑓))〉))} |