MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcnsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcnsr 11167
Description: Multiplication of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcnsr (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยท โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ)

Proof of Theorem mulcnsr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 5470 . 2 โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ โˆˆ V
2 oveq1 7433 . . . . 5 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (๐‘ค ยทR ๐‘ข) = (๐ด ยทR ๐‘ข))
3 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐‘ฃ = ๐ต โ†’ (๐‘ฃ ยทR ๐‘“) = (๐ต ยทR ๐‘“))
43oveq2d 7442 . . . . 5 (๐‘ฃ = ๐ต โ†’ (-1R ยทR (๐‘ฃ ยทR ๐‘“)) = (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐‘“)))
52, 4oveqan12d 7445 . . . 4 ((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โ†’ ((๐‘ค ยทR ๐‘ข) +R (-1R ยทR (๐‘ฃ ยทR ๐‘“))) = ((๐ด ยทR ๐‘ข) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐‘“))))
6 oveq1 7433 . . . . 5 (๐‘ฃ = ๐ต โ†’ (๐‘ฃ ยทR ๐‘ข) = (๐ต ยทR ๐‘ข))
7 oveq1 7433 . . . . 5 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (๐‘ค ยทR ๐‘“) = (๐ด ยทR ๐‘“))
86, 7oveqan12rd 7446 . . . 4 ((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โ†’ ((๐‘ฃ ยทR ๐‘ข) +R (๐‘ค ยทR ๐‘“)) = ((๐ต ยทR ๐‘ข) +R (๐ด ยทR ๐‘“)))
95, 8opeq12d 4886 . . 3 ((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โ†’ โŸจ((๐‘ค ยทR ๐‘ข) +R (-1R ยทR (๐‘ฃ ยทR ๐‘“))), ((๐‘ฃ ยทR ๐‘ข) +R (๐‘ค ยทR ๐‘“))โŸฉ = โŸจ((๐ด ยทR ๐‘ข) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐‘“))), ((๐ต ยทR ๐‘ข) +R (๐ด ยทR ๐‘“))โŸฉ)
10 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘ข = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทR ๐‘ข) = (๐ด ยทR ๐ถ))
11 oveq2 7434 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐ท โ†’ (๐ต ยทR ๐‘“) = (๐ต ยทR ๐ท))
1211oveq2d 7442 . . . . 5 (๐‘“ = ๐ท โ†’ (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐‘“)) = (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท)))
1310, 12oveqan12d 7445 . . . 4 ((๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท) โ†’ ((๐ด ยทR ๐‘ข) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐‘“))) = ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))))
14 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘ข = ๐ถ โ†’ (๐ต ยทR ๐‘ข) = (๐ต ยทR ๐ถ))
15 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘“ = ๐ท โ†’ (๐ด ยทR ๐‘“) = (๐ด ยทR ๐ท))
1614, 15oveqan12d 7445 . . . 4 ((๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท) โ†’ ((๐ต ยทR ๐‘ข) +R (๐ด ยทR ๐‘“)) = ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท)))
1713, 16opeq12d 4886 . . 3 ((๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท) โ†’ โŸจ((๐ด ยทR ๐‘ข) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐‘“))), ((๐ต ยทR ๐‘ข) +R (๐ด ยทR ๐‘“))โŸฉ = โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ)
189, 17sylan9eq 2788 . 2 (((๐‘ค = ๐ด โˆง ๐‘ฃ = ๐ต) โˆง (๐‘ข = ๐ถ โˆง ๐‘“ = ๐ท)) โ†’ โŸจ((๐‘ค ยทR ๐‘ข) +R (-1R ยทR (๐‘ฃ ยทR ๐‘“))), ((๐‘ฃ ยทR ๐‘ข) +R (๐‘ค ยทR ๐‘“))โŸฉ = โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ)
19 df-mul 11158 . . 3 ยท = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ((๐‘ค ยทR ๐‘ข) +R (-1R ยทR (๐‘ฃ ยทR ๐‘“))), ((๐‘ฃ ยทR ๐‘ข) +R (๐‘ค ยทR ๐‘“))โŸฉ))}
20 df-c 11152 . . . . . . 7 โ„‚ = (R ร— R)
2120eleq2i 2821 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (R ร— R))
2220eleq2i 2821 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (R ร— R))
2321, 22anbi12i 626 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (R ร— R) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (R ร— R)))
2423anbi1i 622 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ((๐‘ค ยทR ๐‘ข) +R (-1R ยทR (๐‘ฃ ยทR ๐‘“))), ((๐‘ฃ ยทR ๐‘ข) +R (๐‘ค ยทR ๐‘“))โŸฉ)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (R ร— R) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (R ร— R)) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ((๐‘ค ยทR ๐‘ข) +R (-1R ยทR (๐‘ฃ ยทR ๐‘“))), ((๐‘ฃ ยทR ๐‘ข) +R (๐‘ค ยทR ๐‘“))โŸฉ)))
2524oprabbii 7493 . . 3 {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ((๐‘ค ยทR ๐‘ข) +R (-1R ยทR (๐‘ฃ ยทR ๐‘“))), ((๐‘ฃ ยทR ๐‘ข) +R (๐‘ค ยทR ๐‘“))โŸฉ))} = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (R ร— R) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (R ร— R)) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ((๐‘ค ยทR ๐‘ข) +R (-1R ยทR (๐‘ฃ ยทR ๐‘“))), ((๐‘ฃ ยทR ๐‘ข) +R (๐‘ค ยทR ๐‘“))โŸฉ))}
2619, 25eqtri 2756 . 2 ยท = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (R ร— R) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (R ร— R)) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ) โˆง ๐‘ง = โŸจ((๐‘ค ยทR ๐‘ข) +R (-1R ยทR (๐‘ฃ ยทR ๐‘“))), ((๐‘ฃ ยทR ๐‘ข) +R (๐‘ค ยทR ๐‘“))โŸฉ))}
271, 18, 26ov3 7590 1 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยท โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4638   ร— cxp 5680  (class class class)co 7426  {coprab 7427  Rcnr 10896  -1Rcm1r 10899   +R cplr 10900   ยทR cmr 10901  โ„‚cc 11144   ยท cmul 11151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-c 11152  df-mul 11158
This theorem is referenced by:  mulresr  11170  mulcnsrec  11175  axmulf  11177  axi2m1  11190  axcnre  11195
  Copyright terms: Public domain W3C validator