Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  df-pell1234qr Structured version   Visualization version   GIF version

Definition df-pell1234qr 41214
Description: Define the general solutions of a Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
df-pell1234qr Pell1234QR = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค

Detailed syntax breakdown of Definition df-pell1234qr
StepHypRef Expression
1 cpell1234qr 41208 . 2 class Pell1234QR
2 vx . . 3 setvar ๐‘ฅ
3 cn 12161 . . . 4 class โ„•
4 csquarenn 41206 . . . 4 class โ—ปNN
53, 4cdif 3911 . . 3 class (โ„• โˆ– โ—ปNN)
6 vy . . . . . . . . 9 setvar ๐‘ฆ
76cv 1541 . . . . . . . 8 class ๐‘ฆ
8 vz . . . . . . . . . 10 setvar ๐‘ง
98cv 1541 . . . . . . . . 9 class ๐‘ง
102cv 1541 . . . . . . . . . . 11 class ๐‘ฅ
11 csqrt 15127 . . . . . . . . . . 11 class โˆš
1210, 11cfv 6500 . . . . . . . . . 10 class (โˆšโ€˜๐‘ฅ)
13 vw . . . . . . . . . . 11 setvar ๐‘ค
1413cv 1541 . . . . . . . . . 10 class ๐‘ค
15 cmul 11064 . . . . . . . . . 10 class ยท
1612, 14, 15co 7361 . . . . . . . . 9 class ((โˆšโ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ค)
17 caddc 11062 . . . . . . . . 9 class +
189, 16, 17co 7361 . . . . . . . 8 class (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ค))
197, 18wceq 1542 . . . . . . 7 wff ๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ค))
20 c2 12216 . . . . . . . . . 10 class 2
21 cexp 13976 . . . . . . . . . 10 class โ†‘
229, 20, 21co 7361 . . . . . . . . 9 class (๐‘งโ†‘2)
2314, 20, 21co 7361 . . . . . . . . . 10 class (๐‘คโ†‘2)
2410, 23, 15co 7361 . . . . . . . . 9 class (๐‘ฅ ยท (๐‘คโ†‘2))
25 cmin 11393 . . . . . . . . 9 class โˆ’
2622, 24, 25co 7361 . . . . . . . 8 class ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (๐‘คโ†‘2)))
27 c1 11060 . . . . . . . 8 class 1
2826, 27wceq 1542 . . . . . . 7 wff ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1
2919, 28wa 397 . . . . . 6 wff (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)
30 cz 12507 . . . . . 6 class โ„ค
3129, 13, 30wrex 3070 . . . . 5 wff โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)
3231, 8, 30wrex 3070 . . . 4 wff โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)
33 cr 11058 . . . 4 class โ„
3432, 6, 33crab 3406 . . 3 class {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)}
352, 5, 34cmpt 5192 . 2 class (๐‘ฅ โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
361, 35wceq 1542 1 wff Pell1234QR = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
Colors of variables: wff setvar class
This definition is referenced by:  pell1234qrval  41220
  Copyright terms: Public domain W3C validator