Theorem sbcrext 3120

Description: Interchange class substitution and restricted existential quantifier. (Contributed by NM, 1-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sbcrext	|- ((A e. V /\ F/_yA) -> ( [.A / x ].E.y e. B ph <-> E.y e. B [.A / x ].ph))

Distinct variable groups:   x,y   x,B

Allowed substitution hints:   ph(x,y)   A(x,y)   B(y)   V(x,y)

Proof of Theorem sbcrext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2868	. 2 |- (A e. V -> A e. _V)
2		sbcng 3087	. . . . 5 |- (A e. _V -> ( [.A / x ]. -. A.y e. B -. ph <-> -. [.A / x ].A.y e. B -. ph))
3	2	adantr 451	. . . 4 |- ((A e. _V /\ F/_yA) -> ( [.A / x ]. -. A.y e. B -. ph <-> -. [.A / x ].A.y e. B -. ph))
4		sbcralt 3119	. . . . . 6 |- ((A e. _V /\ F/_yA) -> ( [.A / x ].A.y e. B -. ph <-> A.y e. B [.A / x ]. -. ph))
5		nfnfc1 2493	. . . . . . . . 9 |- F/y F/_yA
6		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( F/_yA -> F/_yA)
7		nfcvd 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( F/_yA -> F/_y_V)
8	6, 7	nfeld 2505	. . . . . . . . 9 |- ( F/_yA -> F/y A e. _V)
9	5, 8	nfan1 1881	. . . . . . . 8 |- F/y( F/_yA /\ A e. _V)
10		sbcng 3087	. . . . . . . . 9 |- (A e. _V -> ( [.A / x ]. -. ph <-> -. [.A / x ].ph))
11	10	adantl 452	. . . . . . . 8 |- (( F/_yA /\ A e. _V) -> ( [.A / x ]. -. ph <-> -. [.A / x ].ph))
12	9, 11	ralbid 2633	. . . . . . 7 |- (( F/_yA /\ A e. _V) -> (A.y e. B [.A / x ]. -. ph <-> A.y e. B -. [.A / x ].ph))
13	12	ancoms 439	. . . . . 6 |- ((A e. _V /\ F/_yA) -> (A.y e. B [.A / x ]. -. ph <-> A.y e. B -. [.A / x ].ph))
14	4, 13	bitrd 244	. . . . 5 |- ((A e. _V /\ F/_yA) -> ( [.A / x ].A.y e. B -. ph <-> A.y e. B -. [.A / x ].ph))
15	14	notbid 285	. . . 4 |- ((A e. _V /\ F/_yA) -> (-. [.A / x ].A.y e. B -. ph <-> -. A.y e. B -. [.A / x ].ph))
16	3, 15	bitrd 244	. . 3 |- ((A e. _V /\ F/_yA) -> ( [.A / x ]. -. A.y e. B -. ph <-> -. A.y e. B -. [.A / x ].ph))
17		dfrex2 2628	. . . 4 |- (E.y e. B ph <-> -. A.y e. B -. ph)
18	17	sbcbii 3102	. . 3 |- ( [.A / x ].E.y e. B ph <-> [.A / x ]. -. A.y e. B -. ph)
19		dfrex2 2628	. . 3 |- (E.y e. B [.A / x ].ph <-> -. A.y e. B -. [.A / x ].ph)
20	16, 18, 19	3bitr4g 279	. 2 |- ((A e. _V /\ F/_yA) -> ( [.A / x ].E.y e. B ph <-> E.y e. B [.A / x ].ph))
21	1, 20	sylan 457	1 |- ((A e. V /\ F/_yA) -> ( [.A / x ].E.y e. B ph <-> E.y e. B [.A / x ].ph))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   e. wcel 1710   F/_wnfc 2477  A.wral 2615  E.wrex 2616  _Vcvv 2860   [.wsbc 3047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048

This theorem is referenced by: (None)