Theorem unissb 3922

Description: Relationship involving membership, subset, and union. Exercise 5 of [Enderton] p. 26 and its converse. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
unissb	|- (U.A C_ B <-> A.x e. A x C_ B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem unissb

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3895	. . . . . 6 |- (y e. U.A <-> E.x(y e. x /\ x e. A))
2	1	imbi1i 315	. . . . 5 |- ((y e. U.A -> y e. B) <-> (E.x(y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
3		19.23v 1891	. . . . 5 |- (A.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (E.x(y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
4	2, 3	bitr4i 243	. . . 4 |- ((y e. U.A -> y e. B) <-> A.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
5	4	albii 1566	. . 3 |- (A.y(y e. U.A -> y e. B) <-> A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
6		alcom 1737	. . . 4 |- (A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
7		19.21v 1890	. . . . . 6 |- (A.y(x e. A -> (y e. x -> y e. B)) <-> (x e. A -> A.y(y e. x -> y e. B)))
8		impexp 433	. . . . . . . 8 |- (((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (y e. x -> (x e. A -> y e. B)))
9		bi2.04 350	. . . . . . . 8 |- ((y e. x -> (x e. A -> y e. B)) <-> (x e. A -> (y e. x -> y e. B)))
10	8, 9	bitri 240	. . . . . . 7 |- (((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (x e. A -> (y e. x -> y e. B)))
11	10	albii 1566	. . . . . 6 |- (A.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.y(x e. A -> (y e. x -> y e. B)))
12		dfss2 3263	. . . . . . 7 |- (x C_ B <-> A.y(y e. x -> y e. B))
13	12	imbi2i 303	. . . . . 6 |- ((x e. A -> x C_ B) <-> (x e. A -> A.y(y e. x -> y e. B)))
14	7, 11, 13	3bitr4i 268	. . . . 5 |- (A.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (x e. A -> x C_ B))
15	14	albii 1566	. . . 4 |- (A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> x C_ B))
16	6, 15	bitri 240	. . 3 |- (A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> x C_ B))
17	5, 16	bitri 240	. 2 |- (A.y(y e. U.A -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> x C_ B))
18		dfss2 3263	. 2 |- (U.A C_ B <-> A.y(y e. U.A -> y e. B))
19		df-ral 2620	. 2 |- (A.x e. A x C_ B <-> A.x(x e. A -> x C_ B))
20	17, 18, 19	3bitr4i 268	1 |- (U.A C_ B <-> A.x e. A x C_ B)

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358  A.wal 1540  E.wex 1541   e. wcel 1710  A.wral 2615   C_ wss 3258  U.cuni 3892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ral 2620  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-ss 3260  df-uni 3893

This theorem is referenced by:  uniss2  3923  ssunieq  3925  sspwuni  4052  pwssb  4053