Theorem 9t11e99 9311

Description: 9 times 11 equals 99. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
9t11e99	|- ( 9 x. ; 1 1 ) = ; 9 9

Proof of Theorem 9t11e99

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 8808	. . . 4 |- 9 e. CC
2		10nn0 9199	. . . . . 6 |- ; 1 0 e. NN0
3	2	nn0cni 8989	. . . . 5 |- ; 1 0 e. CC
4		ax-1cn 7713	. . . . 5 |- 1 e. CC
5	3, 4	mulcli 7771	. . . 4 |- (; 1 0 x. 1 ) e. CC
6	1, 5, 4	adddii 7776	. . 3 |- ( 9 x. ( (; 1 0 x. 1 ) + 1 ) ) = ( ( 9 x. (; 1 0 x. 1 ) ) + ( 9 x. 1 ) )
7	3	mulid1i 7768	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. 1 ) = ; 1 0
8	7	oveq2i 5785	. . . . 5 |- ( 9 x. (; 1 0 x. 1 ) ) = ( 9 x. ; 1 0 )
9	1, 3	mulcomi 7772	. . . . 5 |- ( 9 x. ; 1 0 ) = (; 1 0 x. 9 )
10	8, 9	eqtri 2160	. . . 4 |- ( 9 x. (; 1 0 x. 1 ) ) = (; 1 0 x. 9 )
11	1	mulid1i 7768	. . . 4 |- ( 9 x. 1 ) = 9
12	10, 11	oveq12i 5786	. . 3 |- ( ( 9 x. (; 1 0 x. 1 ) ) + ( 9 x. 1 ) ) = ( (; 1 0 x. 9 ) + 9 )
13	6, 12	eqtri 2160	. 2 |- ( 9 x. ( (; 1 0 x. 1 ) + 1 ) ) = ( (; 1 0 x. 9 ) + 9 )
14		dfdec10 9185	. . 3 |- ; 1 1 = ( (; 1 0 x. 1 ) + 1 )
15	14	oveq2i 5785	. 2 |- ( 9 x. ; 1 1 ) = ( 9 x. ( (; 1 0 x. 1 ) + 1 ) )
16		dfdec10 9185	. 2 |- ; 9 9 = ( (; 1 0 x. 9 ) + 9 )
17	13, 15, 16	3eqtr4i 2170	1 |- ( 9 x. ; 1 1 ) = ; 9 9

Syntax hints:   = wceq 1331  (class class class)co 5774   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   9c9 8778  ;cdc 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-dec 9183

This theorem is referenced by:  3dvds2dec  11563