ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absval Unicode version

Theorem absval 10072
Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absval  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )

Proof of Theorem absval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rsqrt 10069 . . . 4  |-  sqr  =  ( x  e.  RR  |->  ( iota_ y  e.  RR  ( ( y ^
2 )  =  x  /\  0  <_  y
) ) )
2 reex 7205 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
32mptex 5440 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  ( iota_ y  e.  RR  ( ( y ^ 2 )  =  x  /\  0  <_  y ) ) )  e.  _V
41, 3eqeltri 2155 . . 3  |-  sqr  e.  _V
5 id 19 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
6 cjcl 9920 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  e.  CC )
75, 6mulcld 7237 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  ( * `  A ) )  e.  CC )
8 fvexg 5246 . . 3  |-  ( ( sqr  e.  _V  /\  ( A  x.  (
* `  A )
)  e.  CC )  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  e.  _V )
94, 7, 8sylancr 405 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A
) ) )  e. 
_V )
10 fveq2 5230 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
* `  x )  =  ( * `  A ) )
11 oveq12 5573 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  ( * `  x
)  =  ( * `
 A ) )  ->  ( x  x.  ( * `  x
) )  =  ( A  x.  ( * `
 A ) ) )
1210, 11mpdan 412 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  x.  ( * `
 x ) )  =  ( A  x.  ( * `  A
) ) )
1312fveq2d 5234 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x
) ) )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
14 df-abs 10070 . . 3  |-  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x ) ) ) )
1513, 14fvmptg 5301 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) )  e.  _V )  -> 
( abs `  A
)  =  ( sqr `  ( A  x.  (
* `  A )
) ) )
169, 15mpdan 412 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( sqr `  ( A  x.  ( * `  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   _Vcvv 2610   class class class wbr 3806    |-> cmpt 3860   ` cfv 4953   iota_crio 5519  (class class class)co 5564   CCcc 7077   RRcr 7078   0cc0 7079    x. cmul 7084    <_ cle 7252   2c2 8192   ^cexp 9608   *ccj 9911   sqrcsqrt 10067   abscabs 10068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-ltxr 7256  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-cj 9914  df-rsqrt 10069  df-abs 10070
This theorem is referenced by:  absneg  10121  abscl  10122  abscj  10123  absvalsq  10124  absval2  10128  abs0  10129  absi  10130  absge0  10131  absrpclap  10132  absmul  10140  absid  10142  absre  10148  absf  10181
  Copyright terms: Public domain W3C validator