Theorem fvmptg 5497

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	|- ( x = A -> B = C )
fvmptg.2	|- F = ( x e. D |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	|- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   B( x)   R( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2139	. 2 |- C = C
2		fvmptg.1	. . . 4 |- ( x = A -> B = C )
3	2	eqeq2d 2151	. . 3 |- ( x = A -> ( y = B <-> y = C ) )
4		eqeq1 2146	. . 3 |- ( y = C -> ( y = C <-> C = C ) )
5		moeq 2859	. . . 4 |- E* y y = B
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( x e. D -> E* y y = B )
7		fvmptg.2	. . . 4 |- F = ( x e. D |-> B )
8		df-mpt 3991	. . . 4 |- ( x e. D |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
9	7, 8	eqtri 2160	. . 3 |- F = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5495	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( C = C -> ( F ` A ) = C ) )
11	1, 10	mpi 15	1 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   E*wmo 2000   {copab 3988   |-> cmpt 3989   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  fvmpt  5498  fvmpts  5499  fvmpt3  5500  fvmpt2  5504  f1mpt  5672  caofinvl  6004  1stvalg  6040  2ndvalg  6041  brtpos2  6148  rdgon  6283  frec0g  6294  freccllem  6299  frecfcllem  6301  frecsuclem  6303  sucinc  6341  sucinc2  6342  omcl  6357  oeicl  6358  oav2  6359  omv2  6361  fvdiagfn  6587  djulclr  6934  djurclr  6935  djulcl  6936  djurcl  6937  djulclb  6940  omp1eomlem  6979  ctmlemr  6993  nnnninf  7023  cardval3ex  7041  ceilqval  10079  frec2uzzd  10173  frec2uzsucd  10174  monoord2  10250  iseqf1olemqval  10260  iseqf1olemqk  10267  seq3f1olemqsum  10273  seq3f1oleml  10276  seq3f1o  10277  seq3distr  10286  ser3le  10291  hashinfom  10524  hashennn  10526  cjval  10617  reval  10621  imval  10622  cvg1nlemcau  10756  cvg1nlemres  10757  absval  10773  resqrexlemglsq  10794  resqrexlemga  10795  climmpt  11069  climle  11103  climcvg1nlem  11118  summodclem3  11149  summodclem2a  11150  zsumdc  11153  fsum3  11156  fsumcl2lem  11167  sumsnf  11178  isumadd  11200  fsumrev  11212  fsumshft  11213  fsummulc2  11217  iserabs  11244  isumlessdc  11265  divcnv  11266  trireciplem  11269  trirecip  11270  expcnvap0  11271  expcnvre  11272  expcnv  11273  explecnv  11274  geolim  11280  geolim2  11281  geo2lim  11285  geoisum  11286  geoisumr  11287  geoisum1  11288  geoisum1c  11289  cvgratz  11301  mertenslem2  11305  mertensabs  11306  eftvalcn  11363  efval  11367  efcvgfsum  11373  ege2le3  11377  efcj  11379  eftlub  11396  efgt1p2  11401  eflegeo  11408  sinval  11409  cosval  11410  tanvalap  11415  eirraplem  11483  phival  11889  crth  11900  phimullem  11901  ennnfonelemj0  11914  ennnfonelem0  11918  strnfvnd  11979  topnvalg  12132  toponsspwpwg  12189  tgval  12218  cldval  12268  ntrfval  12269  clsfval  12270  neifval  12309  neival  12312  ismet  12513  isxmet  12514  divcnap  12724  mulc1cncf  12745  djucllem  13007  nnsf  13199  peano3nninf  13201  nninfalllemn  13202  nninfself  13209  nninfsellemeqinf  13212