ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apirr Unicode version

Theorem apirr 7824
Description: Apartness is irreflexive. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apirr  |-  ( A  e.  CC  ->  -.  A #  A )

Proof of Theorem apirr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7229 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
2 reapirr 7796 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x #  x )
3 apreap 7806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x #  x  <->  x #  x )
)
43anidms 389 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x #  x  <->  x #  x )
)
52, 4mtbird 631 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x #  x )
6 reapirr 7796 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  y #  y )
7 apreap 7806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y #  y  <->  y #  y )
)
87anidms 389 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y #  y  <->  y #  y )
)
96, 8mtbird 631 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  y #  y )
105, 9anim12i 331 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  x #  x  /\  -.  y #  y ) )
11 ioran 702 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x #  x  \/  y #  y )  <->  ( -.  x #  x  /\  -.  y #  y ) )
1210, 11sylibr 132 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  -.  ( x #  x  \/  y #  y )
)
13 apreim 7822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( x  +  ( _i  x.  y
) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  ( x #  x  \/  y #  y
) ) )
1413anidms 389 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  +  ( _i  x.  y
) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  ( x #  x  \/  y #  y
) ) )
1512, 14mtbird 631 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  -.  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
1615ad2antlr 473 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  ->  -.  ( x  +  (
_i  x.  y )
) #  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) )
17 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) )
1817, 17breq12d 3818 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  ( A #  A  <->  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
1918notbid 625 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  ( -.  A #  A  <->  -.  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
2019adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  ->  ( -.  A #  A  <->  -.  (
x  +  ( _i  x.  y ) ) #  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
2116, 20mpbird 165 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  /\  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )  ->  -.  A #  A )
2221ex 113 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  ( A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  -.  A #  A ) )
2322rexlimdvva 2489 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  ->  -.  A #  A ) )
241, 23mpd 13 1  |-  ( A  e.  CC  ->  -.  A #  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2354   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   CCcc 7093   RRcr 7094   _ici 7097    + caddc 7098    x. cmul 7100   # creap 7793   # cap 7800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-ltxr 7272  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801
This theorem is referenced by:  mulap0r  7834
  Copyright terms: Public domain W3C validator