ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ax1re Unicode version

Theorem ax1re 7144
Description: 1 is a real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1re 7184.

In the Metamath Proof Explorer, this is not a complex number axiom but is proved from ax-1cn 7183 and the other axioms. It is not known whether we can do so here, but the Metamath Proof Explorer proof (accessed 13-Jan-2020) uses excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
ax1re  |-  1  e.  RR

Proof of Theorem ax1re
StepHypRef Expression
1 df-1 7103 . 2  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
2 1sr 7042 . . 3  |-  1R  e.  R.
3 opelreal 7110 . . 3  |-  ( <. 1R ,  0R >.  e.  RR  <->  1R  e.  R. )
42, 3mpbir 144 . 2  |-  <. 1R ,  0R >.  e.  RR
51, 4eqeltri 2155 1  |-  1  e.  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1434   <.cop 3419   R.cnr 6601   0Rc0r 6602   1Rc1r 6603   RRcr 7094   1c1 7096
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-eprel 4072  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-1o 6085  df-2o 6086  df-oadd 6089  df-omul 6090  df-er 6193  df-ec 6195  df-qs 6199  df-ni 6608  df-pli 6609  df-mi 6610  df-lti 6611  df-plpq 6648  df-mpq 6649  df-enq 6651  df-nqqs 6652  df-plqqs 6653  df-mqqs 6654  df-1nqqs 6655  df-rq 6656  df-ltnqqs 6657  df-enq0 6728  df-nq0 6729  df-0nq0 6730  df-plq0 6731  df-mq0 6732  df-inp 6770  df-i1p 6771  df-iplp 6772  df-enr 7017  df-nr 7018  df-0r 7022  df-1r 7023  df-1 7103  df-r 7105
This theorem is referenced by:  peano5nnnn  7172
  Copyright terms: Public domain W3C validator