Theorem bdmet 12671

Description: The standard bounded metric is a proper metric given an extended metric and a positive real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	|- D = ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) )

Assertion

Ref	Expression
bdmet	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, C   x, R, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)

Proof of Theorem bdmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 9449	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
2		rpgt0 9453	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> 0 < R )
3	1, 2	jca 304	. . 3 |- ( R e. RR+ -> ( R e. RR* /\ 0 < R ) )
4		stdbdmet.1	. . . . 5 |- D = ( x e. X , y e. X |-> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) )
5	4	bdxmet 12670	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* /\ 0 < R ) -> D e. ( *Met ` X ) )
6	5	3expb 1182	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( R e. RR* /\ 0 < R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
7	3, 6	sylan2 284	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( *Met ` X ) )
8		xmetcl 12521	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x C y ) e. RR* )
9	8	3expb 1182	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. RR* )
10	9	adantlr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x C y ) e. RR* )
11	1	ad2antlr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> R e. RR* )
12		xrmincl 11035	. . . . . 6 |- ( ( ( x C y ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR* )
13	10, 11, 12	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR* )
14		rpre 9448	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> R e. RR )
15	14	ad2antlr 480	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> R e. RR )
16		xmetge0 12534	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( x C y ) )
17	16	3expb 1182	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x C y ) )
18	17	adantlr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ ( x C y ) )
19		rpge0 9454	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ R )
20	19	ad2antlr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ R )
21		0xr 7812	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
22		xrlemininf 11040	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( x C y ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ ( x C y ) /\ 0 <_ R ) ) )
23	21, 10, 11, 22	mp3an2i 1320	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ ( x C y ) /\ 0 <_ R ) ) )
24	18, 20, 23	mpbir2and 928	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) )
25		xrmin2inf 11037	. . . . . 6 |- ( ( ( x C y ) e. RR* /\ R e. RR* ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <_ R )
26	10, 11, 25	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <_ R )
27		xrrege0 9608	. . . . 5 |- ( ( (inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR* /\ R e. RR ) /\ ( 0 <_ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) /\ inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) <_ R ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR )
28	13, 15, 24, 26, 27	syl22anc 1217	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR )
29	28	ralrimivva 2514	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> A. x e. X A. y e. X inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR )
30	4	fmpo 6099	. . 3 |- ( A. x e. X A. y e. X inf ( { ( x C y ) , R } , RR* , < ) e. RR <-> D : ( X X. X ) --> RR )
31	29, 30	sylib 121	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
32		ismet2 12523	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
33	7, 31, 32	sylanbrc 413	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR+ ) -> D e. ( Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   {cpr 3528   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776  infcinf 6870   RRcr 7619   0cc0 7620   RR*cxr 7799   < clt 7800   <_ cle 7801   RR+crp 9441   *Metcxmet 12149   Metcmet 12150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-icc 9678  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-xmet 12157  df-met 12158

This theorem is referenced by:  mopnex  12674