Theorem cvg1nlemf 10755

Description: Lemma for cvg1n 10758. The modified sequence G is a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
cvg1nlem.g	|- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
cvg1nlem.z	|- ( ph -> Z e. NN )
cvg1nlem.start	|- ( ph -> C < Z )

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemf	|- ( ph -> G : NN --> RR )

Distinct variable group:   ph, j

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   C( j, k, n)   F( j, k, n)   G( j, k, n)   Z( j, k, n)

Proof of Theorem cvg1nlemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> F : NN --> RR )
3		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
4		cvg1nlem.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. NN )
5	4	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> Z e. NN )
6	3, 5	nnmulcld 8769	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( j x. Z ) e. NN )
7	2, 6	ffvelrnd 5556	. 2 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F ` ( j x. Z ) ) e. RR )
8		cvg1nlem.g	. 2 |- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
9	7, 8	fmptd 5574	1 |- ( ph -> G : NN --> RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   + caddc 7623   x. cmul 7625   < clt 7800   / cdiv 8432   NNcn 8720   ZZ>=cuz 9326   RR+crp 9441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-1rid 7727  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-inn 8721

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10757