Theorem efcllem 11370

Description: Lemma for efcl 11375. The series that defines the exponential function converges. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcllem.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
efcllem	|- ( A e. CC -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem efcllem

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8795	. . . . 5 |- 2 e. RR
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. CC -> 2 e. RR )
3		abscl 10828	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
4	2, 3	remulcld 7801	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
5		arch 8979	. . 3 |- ( ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR -> E. j e. NN ( 2 x. ( abs ` A ) ) < j )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> E. j e. NN ( 2 x. ( abs ` A ) ) < j )
7		efcllem.1	. . 3 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
8		simpl 108	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( j e. NN /\ ( 2 x. ( abs ` A ) ) < j ) ) -> A e. CC )
9		simprl 520	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( j e. NN /\ ( 2 x. ( abs ` A ) ) < j ) ) -> j e. NN )
10		simprr 521	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( j e. NN /\ ( 2 x. ( abs ` A ) ) < j ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < j )
11	7, 8, 9, 10	efcllemp 11369	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( j e. NN /\ ( 2 x. ( abs ` A ) ) < j ) ) -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
12	6, 11	rexlimddv 2554	1 |- ( A e. CC -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   dom cdm 4539   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7623   RRcr 7624   0cc0 7625   + caddc 7628   x. cmul 7630   < clt 7805   / cdiv 8437   NNcn 8725   2c2 8776   NN0cn0 8982   seqcseq 10223   ^cexp 10297   !cfa 10476   abscabs 10774   ~~> cli 11052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7716  ax-resscn 7717  ax-1cn 7718  ax-1re 7719  ax-icn 7720  ax-addcl 7721  ax-addrcl 7722  ax-mulcl 7723  ax-mulrcl 7724  ax-addcom 7725  ax-mulcom 7726  ax-addass 7727  ax-mulass 7728  ax-distr 7729  ax-i2m1 7730  ax-0lt1 7731  ax-1rid 7732  ax-0id 7733  ax-rnegex 7734  ax-precex 7735  ax-cnre 7736  ax-pre-ltirr 7737  ax-pre-ltwlin 7738  ax-pre-lttrn 7739  ax-pre-apti 7740  ax-pre-ltadd 7741  ax-pre-mulgt0 7742  ax-pre-mulext 7743  ax-arch 7744  ax-caucvg 7745

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7807  df-mnf 7808  df-xr 7809  df-ltxr 7810  df-le 7811  df-sub 7940  df-neg 7941  df-reap 8342  df-ap 8349  df-div 8438  df-inn 8726  df-2 8784  df-3 8785  df-4 8786  df-n0 8983  df-z 9060  df-uz 9332  df-q 9417  df-rp 9447  df-ico 9682  df-fz 9796  df-fzo 9925  df-seqfrec 10224  df-exp 10298  df-fac 10477  df-ihash 10527  df-cj 10619  df-re 10620  df-im 10621  df-rsqrt 10775  df-abs 10776  df-clim 11053  df-sumdc 11128

This theorem is referenced by:  efval  11372  eff  11374  efcvg  11377  reefcl  11379  efaddlem  11385  eftlcvg  11398  effsumlt  11403  eflegeo  11413  eirraplem  11488